Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, Tài Liệu Học Thi mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 14, 15, 16

Tài Liệu Học Thi mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 14, 15, 16 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 14, 15, 16 Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 3 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Xem Tắt

1 Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
2 Giải bài tập toán 9 trang 14, 15, 16 tập 1
3 Giải bài tập toán 9 trang 15, 16 tập 1: Luyện tập

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Định lí. Với các số a và b không âm ta có: $sqrt{a.b}=sqrt a. sqrt b$

1. Định lí

Với các số a và b không âm ta có: $sqrt{a.b}=sqrt a. sqrt b$

Lưu ý:

+) Với hai biểu thức không âm A và B, ta cũng có: $sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B$

+) Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết đằng thức trên.

Chẳng hạn $sqrt{(-9).(-4)}$ được xác định nhưng đẳng thức $sqrt {(-9)}. sqrt {(-4)}$ không xác định.

2. Áp dụng

a. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

+ Mở rộng: Với các số a, b,c không âm ta có: $sqrt{a.b.c}=sqrt a. sqrt b.sqrt c$

b. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

+ Mở rộng: Với các số a, b,c không âm ta có: $sqrt a. sqrt b .sqrt c=sqrt{a.b.c}.$

+ Với biểu thức A không âm, ta có: ${left( {sqrt A } right)^2} = sqrt {{A^2}} = A$

3. Dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: $sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B$

Ví dụ: $sqrt {32} + sqrt 8 = sqrt {16.2} + sqrt {4.2} = sqrt {16} .sqrt 2 + sqrt 4 .sqrt 2 = 4sqrt 2 + 2sqrt 2 = 6$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: $sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B$

Ví dụ:

$begin{array}{l} sqrt {9left( {{x^2} - 2x + 1} right)} = sqrt 9 .sqrt {{x^2} - 2x + 1} \ = 3.sqrt {{{left( {x - 1} right)}^2}} = 3left| {x - 1} right| end{array}$

Giải bài tập toán 9 trang 14, 15, 16 tập 1

Bài 17 (trang 14 SGK Toán 9 Tập 1)

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $sqrt{0,09.64};$

b) $sqrt{2^{4}.(-7)^{2}};$

c) $sqrt{12,1.360};$

d) $sqrt{2^{2}.3^{4}}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{0,09.64}=sqrt{0,09}.sqrt{64}$

$=sqrt{(0,3)^2}.sqrt{8^2}$

=|0,3|. |8|

=0,3.8

=2,4.

b) Ta có:

$sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=sqrt{2^4}.sqrt{(-7)^2}$

$=sqrt{(2^2)^2}.sqrt{(-7)^2}$

$=sqrt{4^2}.left| -7 right|$

=|4|.|-7|

=4.7

=28.

c) Ta có:

$sqrt{12,1.360}=sqrt{12,1.(10.36)}$

$=sqrt{(12,1.10).36}$

$=sqrt{121.36}$

$=sqrt{121}.sqrt{36}$

$=sqrt{11^2}.sqrt{6^2}$

=|11|.|6|

=11.6

=66.

d) Ta có:

$sqrt{2^{2}.3^{4}}=sqrt{2^2}.sqrt{3^4}$

$=sqrt{2^{2}}.sqrt{(3^2)^2}$

$=sqrt{ 2^2}.sqrt{9^2}$

=|2|.|9|

=2.9

=18.

Bài 18 (trang 14 SGK Toán 9 Tập 1)

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

a) $sqrt{7}.sqrt{63};$

b) $sqrt{2,5}.sqrt{30}.sqrt{48};$

c) $sqrt{0,4}.sqrt{6,4};$

d) $sqrt{2,7}.sqrt{5}.sqrt{1,5}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{7}.sqrt{63}=sqrt{7.63} =sqrt{7.(7.9)} =sqrt{(7.7).9}$

$=sqrt{7^2. 3^2} =sqrt{7^2}.sqrt{3^2}$

$=|7|.|3|=7.3 =21.$

b) Ta có:

$sqrt{2,5}.sqrt{30}.sqrt{48}=sqrt{2,5.30.48}$

$=sqrt{2,5.(10.3).(16.3)}$

$=sqrt{(2,5.10).(3.3).16}$

$=sqrt{25.3^2.4^2}$

$=sqrt{25}.sqrt{3^2}.sqrt{4^2}$

$=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}.sqrt{4^2}$

=|5|.|3|.|4|=5.3.4 =60.

c) Ta có:

$sqrt{0,4}.sqrt{6,4}=sqrt{0,4.6,4}=sqrt{0,4.(0,1.64)}$

$=sqrt{(0,4.0,1).64}=sqrt{0,04.64}$

$=sqrt{0,04}.sqrt{64}=sqrt{0,2^2}.sqrt{8^2}$

=|0,2|.|8|=0,2.8 =1,6.

$sqrt{2,7}.sqrt{5}.sqrt{1,5}=sqrt{2,7.5.1,5}$

$=sqrt{(27.0,1).5.(0,5.3)}$

$=sqrt{(27.3).(0,1.5).0,5}$

$=sqrt{81.0,5.0,5} =sqrt{81.0,5^2}$

$=sqrt{81}.sqrt{0,5^2}=sqrt{9^2}.sqrt{0,5^2}$

=|9|.|0,5|=9.0,5=4,5.

Bài 19 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $sqrt{0,36a^{2}}$ với a <0;

b) $sqrt{a^4.(3-a)^2}$ với a ≥ 3;

c) $sqrt{27.48(1 - a)^{2}}$ với a > 1;

d) $dfrac{1}{a - b}. sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}$ với a > b.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{0,36a^{2}} = sqrt{0,36}.sqrt{a^{2}}$

$=sqrt{0,6^2}.sqrt{a^2}$

= 0,6.│a│

= 0,6. (-a)=-0,6a

(Vì a < 0 nên │a│= -a).

Vì $a^{2}$ ≥ 0 nên $left| a^2 right|= a^{2}.$

Vì $a ge 3 hay 3 le a$ nên 3 – a ≤ 0.

$Rightarrow│3 - a│= -(3-a)=-3+a=a - 3.$

Ta có: $sqrt{a^{4}.(3 - a)^{2}}= sqrt{a^{4}}. sqrt{(3 - a)^{2}}$

$=sqrt{(a^2)^2}.sqrt{(3-a)^2}$

$= left| a^{2}right|.left| 3 - a right|.$

$= a^2.(a-3)=a^3-3a^2.$

Vì a > 1 hay 1<a nên 1 – a < 0.

$Rightarrow left| 1 - aright| =-(1-a)=-1+a= a -1.$

Ta có: $sqrt{27.48(1 - a)^{2}} = sqrt{27.(3.16).(1 - a)^{2}}$

$=sqrt{(27.3).16.(1-a)^2}$

$= sqrt{81.16.(1 - a)^{2}}$

$=sqrt {81} .sqrt {16} .sqrt {{{(1 - a)}^2}}$

$=sqrt{9^2}.sqrt{4^2}.sqrt{(1-a)^2}$

$= 9.4. left| {1 - a} right| = 36.left| {1 - a} right|$

= 36.(a-1)=36a-36.

Vì $a^2 ge 0$ , với mọi a nên $left|a^2 right| = a^2.$

Vì a > b nên a -b > 0. Do đó $left|a - bright|= a - b.$

Ta có: $dfrac{1}{a - b} . sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}$

$= dfrac{1}{a - b} . sqrt{a^{4}}.sqrt{(a - b)^{2}}$

$= dfrac{1}{a - b} . {left| {{a^2}} right|.left| {a - b} right|}$

$=dfrac{1}{a - b} . a^{2}.(a - b)$

$=a^2$

Bài 20 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $sqrt{dfrac{2a}{3}}. sqrt{dfrac{3a}{8}}$ với a ≥ 0;

b) $sqrt{13a}.sqrt{dfrac{52}{a}}$ với a > 0;

c) $sqrt{5a}.sqrt{45a} - 3a$ với a ≥ 0;

d) $(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{dfrac{2a}{3}}.sqrt{dfrac{3a}{8}}=sqrt{dfrac{2a}{3}.dfrac{3a}{8}}=sqrt{dfrac{2a.3a}{3.8}} =sqrt{dfrac{a^2}{4}}=sqrt{dfrac{a^2}{2^2}}$

$=sqrt{left(dfrac{a}{2}right)^2}=left| dfrac{a}{2}right| = dfrac{a}{2}.$

(Vì $a ge 0$ nên $dfrac{a}{2} ge 0 Rightarrow left| dfrac{a}{2} right| = dfrac{a}{2}).$

b) Ta có:

$sqrt{13a}.sqrt{dfrac{52}{a}}=sqrt{13a.dfrac{52}{a}}=sqrt{dfrac{13a.52}{a}}$

$=sqrt{dfrac{13a.(13.4)}{a}}=sqrt{dfrac{(13.13).4.a}{a}}$

$=sqrt{13^2.4}=sqrt{13^2}.sqrt{4}$

$=sqrt{13^2}.sqrt{2^2}=13.2$

=26 (vì a>0)

Do $ageq 0$ nên bài toán luôn được xác định.

Ta có: $sqrt{5a}.sqrt{45a}- 3a=sqrt{5a.45a}-3a$

$=sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a$

$=sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a$

$=sqrt{5^2.3^2.a^2}-3a$

$=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}.sqrt{a^2}-3a$

$=5.3.left|aright|-3a=15 left|a right| -3a.$

=15a – 3a = (15-3)a =12a.

(vì $a ge 0$ nên $left| a right| = a$ ).

d) Ta có:

$(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=(3 - a)^{2}-sqrt{0,2.180a^2}$

$= (3-a)^2-sqrt{0,2.(10.18).a^2}$

$=(3-a)^2-sqrt{(0,2.10).18.a^2}$

$=(3-a)^2-sqrt{2.18.a^2}$

$=(3-a)^2-sqrt{36a^2}$

$=(3-a)^2-sqrt{36}.sqrt{a^2}$

$=(3-a)^2-sqrt{6^2}.sqrt{a^2}$

$=(3-a)^2-6.left|aright|.$

+) TH1: Nếu $ageq 0Rightarrow |a|=a.$

Do đó: $(3 - a)^{2}- 6left|aright|=(3-a)^2-6a$

$=(3^2-2.3.a+a^2)-6a$

$=(9-6a+a^2)-6a$

$=9-6a+a^2-6a$

$=a^2+(-6a-6a)+9$

$=a^2+(-12a)+9$

$=a^2-12a+9.$

+) TH2: Nếu $a<0Rightarrow |a|=-a.$

Do đó: $(3 - a)^{2}- 6left|aright| =(3-a)^2-6.(-a)$

$=(3^2-2.3.a+a^2)-(-6a)$

$=(9-6a+a^2)+6a$

$=9-6a+a^2+6a$

$=a^2+(-6a+6a)+9$

$=a^2+9.$

Vậy $(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9,$ nếu a ge 0.

$(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=a^2+9,$ nếu a <0.

Bài 21 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Khai phương tích 12.30.40 được:

(A) 1200; (B) 120; (C) 12; (D) 240

Hãy chọn kết quả đúng.

Gợi ý đáp án

Ta có:

$sqrt{12.30.40}=sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}$

$=sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}$

$=sqrt{3^2.4^2.10^2}$

$=sqrt{3^2}.sqrt{4^2}.sqrt{10^2}$

=3.4.10=120.

Vậy đáp án đúng là (B). 120

Giải bài tập toán 9 trang 15, 16 tập 1: Luyện tập

Bài 22 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

a) $sqrt{13^{2}- 12^{2}};$

b) $sqrt{17^{2}- 8^{2}};$

c) $sqrt{117^{2} - 108^{2}};$

d) $sqrt{313^{2} - 312^{2}}.$

Gợi ý đáp án

Câu a: Ta có:

$sqrt{13^{2}- 12^{2}}=sqrt{(13+12)(13-12)}$

$=sqrt{25.1}=sqrt{25}$

$=sqrt{5^2}=|5|=5.$

Câu b: Ta có:

$sqrt{17^{2}- 8^{2}}=sqrt{(17+8)(17-8)}$

$=sqrt{25.9}=sqrt{25}.sqrt{9}$

$=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}=|5|.|3|.$

=5.3=15.

Câu c: Ta có:

$sqrt{117^{2} - 108^{2}} =sqrt{(117-108)(117+108)}$

$=sqrt{9.225} =sqrt{9}.sqrt{225}$

$=sqrt{3^2}.sqrt{15^2}=|3|.|15|$

=3.15=45.

Câu d: Ta có:

$sqrt{313^{2} - 312^{2}}=sqrt{(313-312)(313+312)}$

$=sqrt{1.625}=sqrt{625}$

Bài 23 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh.

a) $(2 - sqrt{3})(2 + sqrt{3}) = 1;$

b) $(sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005})$ là hai số nghịch đảo của nhau.

Gợi ý đáp án

Câu a: Ta có:

$(sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005})$

Câu b:

Ta tìm tích của hai số $(sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005})$

Ta có:

$(sqrt{2006} + sqrt{2005}).(sqrt{2006} - sqrt{2005})$

$= (sqrt{2006})^2-(sqrt{2005})^2$

=2006-2005=1

Do đó $(sqrt{2006} + sqrt{2005}).(sqrt{2006} - sqrt{2005})=1$

$Leftrightarrow sqrt{2006}-sqrt{2005}=dfrac{1}{sqrt{2006}+sqrt{2005}}$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Bài 24 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:

a) $sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}$ tại $x = - sqrt 2 ;$

b) $sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}$ tại $a = - 2;,,b = - sqrt 3 .$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}} =sqrt {4}. sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}}$

$=sqrt{4}.sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}$

$=sqrt{2^2}.sqrt{left[1^2+2.3x+(3x)^2right]^2}$

$=2.sqrt {{{left[ {{{left( {1 + 3x} right)}^2}} right]}^2}}$

$=2.left|(1+3x)^2right|$

$=2(1+3x)^2.$

(Vì $(1+3x)^2 > 0$ với mọi x nên $left|(1+3x)^2right|=(1+3x)^2 )$

Thay $x = - sqrt 2$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$2{left[ {1 + 3.(-sqrt 2) } right]^2}=2(1-3sqrt{2})^2.$

Bấm máy tính, ta được: $2{left( {1 - 3sqrt 2 } right)^2} approx 21,029.$

b) Ta có:

$sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} =sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

$=sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

$=sqrt{(3a)^2}. sqrt{(b-2)^2}$

$=left|3aright|. left|b-2right|$

Thay a = -2 và b = $- sqrt 3$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$left| 3.(-2)right|. left| -sqrt{3}-2right| =left|-6right|.left|-(sqrt{3}+2) right|$

$=6.(sqrt{3}+2)=6sqrt{3}+12.$

Bấm máy tính, ta được: $6sqrt{3}+12 approx 22,392.$

Bài 25 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

a) $sqrt{16x}= 8$ ;

b) $sqrt{4x} = sqrt{5};$

c) $sqrt{9(x - 1)} = 21$ ;

d) $sqrt{4(1 - x)^{2}}- 6 = 0.$

Gợi ý đáp án

a) Điều kiện: $x ge 0$

$sqrt {16x} = 8 Leftrightarrow {left( {sqrt {16x} } right)^2} = {8^2} Leftrightarrow 16x = 64$

$Leftrightarrow x = dfrac{{64}}{{16}} Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=4.

Cách khác:

$begin{array}{l} sqrt {16x} = 8 Leftrightarrow sqrt {16} .sqrt x = 8\ Leftrightarrow 4sqrt x = 8 Leftrightarrow sqrt x = 2\ Leftrightarrow x = {2^2} Leftrightarrow x = 4 end{array}$

b) Điều kiện: $4x ge 0 Leftrightarrow x ge 0$

$sqrt {4x} = sqrt 5 Leftrightarrow {left( {sqrt {4x} } right)^2} = {left( {sqrt 5 } right)^2}$

$Leftrightarrow 4x = 5 Leftrightarrow x = dfrac{5}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=dfrac{5}{4}.$

c) Điều kiện: $9left( {x - 1} right) ge 0 Leftrightarrow x - 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 1$

$sqrt {9left( {x - 1} right)} = 21 Leftrightarrow 3sqrt {x - 1} = 21$

$Leftrightarrow sqrt {x - 1} = 7 Leftrightarrow x - 1 = 49 Leftrightarrow x = 50$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=50.

Cách khác:

$begin{array}{l} sqrt {9left( {x - 1} right)} = 21 Leftrightarrow 9left( {x - 1} right) = {21^2}\ Leftrightarrow 9left( {x - 1} right) = 441 Leftrightarrow x - 1 = 49\ Leftrightarrow x = 50 end{array}$

d) Điều kiện: $x in R$ (vì $4.(1-x)^2ge 0$ với mọi x)

$sqrt {4{{left( {1 - x} right)}^2}} - 6 = 0 Leftrightarrow 2sqrt {{{left( {1 - x} right)}^2}} = 6 Leftrightarrow left| {1 - x} right| = 3$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1 - x = 3\1 - x = - 3end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - 2\x = 4end{array} right.$

Vậy x=-2;x=4.

Bài 26 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

a) So sánh $sqrt{25 + 9}$ và $sqrt{25} + sqrt{9};$

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh $sqrt{a + b} < sqrt{a}+sqrt{b}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$+) sqrt{25 + 9}=sqrt{34}.$

$+) sqrt{25} + sqrt{9}=sqrt{5^2}+sqrt{3^2}=5+3$

$=8=sqrt{8^2}=sqrt{64}.$

Vì 34<64 nên $sqrt{34}<sqrt{64}$

Vậy $sqrt{25 + 9}<sqrt{25} + sqrt{9}$

b) Với a>0,b>0, ta có

$+), (sqrt{a + b})^{2} = a + b.$

$+) ,(sqrt{a} + sqrt{b})^{2}= (sqrt{a})^2+ 2sqrt a .sqrt b +(sqrt{b})^2$

$= a +2sqrt{ab} + b$

$=(a+b) +2sqrt{ab}.$

Vì a > 0, b > 0 nên $sqrt{ab} > 0 Leftrightarrow 2sqrt{ab} >0$

$Leftrightarrow (a+b) +2sqrt{ab} > a+b$

$Leftrightarrow (sqrt{a}+sqrt{ b})^2 > (sqrt{a+b})^2$

$Leftrightarrow sqrt{a}+sqrt{b}>sqrt{a+b}$ (đpcm)

Bài 27 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

So sánh

$a) 4 và 2sqrt{3};$

b) $-sqrt{5}$ và -2

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$begin{array}{l} 4 > 3 Leftrightarrow sqrt 4 > sqrt 3 \ Leftrightarrow 2 > sqrt 3 \ Leftrightarrow 2.2 > 2.sqrt 3 \ Leftrightarrow 4 > 2sqrt 3 end{array}$