Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 trang 15, 16 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của

Giải Toán 9 trang 15, 16 Tập 2 giúp các bạn học sinh tham khảo cách giải, đối chiếu với lời giải hay chính xác phù hợp với năng lực của các bạn lớp 9.

Giải Toán lớp 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế được biên soạn đầy đủ tóm tắt lý thuyết, trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 15, 16. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm, củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức của bản thân. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải bài tập Toán 9 bài 3 chương 3 tập 2, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Xem Tắt

1 Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
2 Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2
3 Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2: Luyện tập

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ).

* Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trị của vế trái tại x = x0 và y =y0 bằng vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).

Ví dụ: Các phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x + y = 1; x – y = 2; ….

2. Quy tắc thế

Qui tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Quy tắc thế gồm hai bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất) ta được hệ mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

3. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:

Bước 1. Rút x hoặc y từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

3. Chú ý

+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} x - y =3 & & \ 3x-4y=2 & & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \ 4x+y=2 & & end{matrix}right.$

c) $left{begin{matrix} x +3y =-2 & & \ 5x-4y=11 & & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) $left{begin{matrix} x - y =3 & & \ 3x-4y=2 & & end{matrix}right.$

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới , ta được:

$left{ matrix{ x - y = 3 hfill cr 3x - 4y = 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr 3left( {3 + y} right) - 4y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr 9 + 3y - 4y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr - y = 2 - 9 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + y hfill cr y = 7 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 + 7 hfill cr y = 7 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 10 hfill cr y = 7 hfill cr} right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y)=(10; 7).

b) $left{begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \ 4x+y=2 & & end{matrix}right.$

Rút y từ phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên, ta có:

$left{ begin{array}{l}7x - 3y = 5\4x + y = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}7x - 3y = 5\y = 2 - 4xend{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x - 3.left( {2 - 4x} right) = 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x - 6 + 12x = 5end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\7x + 12x = 5 + 6end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\19x = 11end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y = 2 - 4x\x = dfrac{{11}}{{19}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{{11}}{{19}}\y = 2 - 4.dfrac{{11}}{{19}}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{{11}}{{19}}\y = - dfrac{6}{{19}}end{array} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${left(dfrac{11}{19}; dfrac{-6}{19} right)}$

c) $left{begin{matrix} x +3y =-2 & & \ 5x-4y=11 & & end{matrix}right.$

Rút x từ phương trình trên rồi thế vào phương trình dưới, ta có:

$left{ matrix{ x + 3y = - 2 hfill cr 5x - 4y = 11 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr 5left( { - 2 - 3y} right) - 4y = 11 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 10 - 15y - 4y = 11 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 15y - 4y = 11 + 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr - 19y = 21 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3y hfill cr y = - dfrac{ 21}{ 19} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 - 3. dfrac{ - 21}{19} hfill cr y = - dfrac{21}{19} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{25}{19} hfill cr y = - dfrac{21}{19} hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ${left(dfrac{25}{19}; dfrac{-21}{19} right)}$

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \ 4x - 5y = 3& & end{matrix}right.;$

b) $left{begin{matrix} dfrac{x}{2}- dfrac{y}{3} = 1& & \ 5x - 8y = 3& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ 3x - 2y = 11 hfill cr 4x - 5y = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 2y = 3x - 11 hfill cr 4x - 5y = 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{3x - 11}{2} (1) hfill cr 4x - 5.dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2):

$4x - 5.dfrac{3x - 11}{ 2} = 3 Leftrightarrow 4x - dfrac{15x - 55}{ 2} = 3$

$Leftrightarrow dfrac{4x.2}{2} - dfrac{15x - 55}{ 2} = dfrac{3.2}{2} Leftrightarrow dfrac{8x}{2} - dfrac{15x - 55}{2} = dfrac{6}{2}$

$Leftrightarrow dfrac{8x - 15x + 55}{2} = dfrac{6}{2} Leftrightarrow 8x - 15x + 55 = 6 Leftrightarrow - 7x = 6 - 55$

$Leftrightarrow - 7x = - 49 Leftrightarrow x=7$

Thay x=7 vào phương trình (1), ta được:

$y = dfrac{3.7 - 11}{2}=5$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (7; 5).

b) Ta có:

$left{ matrix{ dfrac{x}{2} - dfrac{y}{3} = 1 hfill cr 5x - 8y = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ dfrac{x }{2} = 1 + dfrac{y}{3} hfill cr 5x - 8y = 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 2 + dfrac{2y}{3} (1) hfill cr 5{left(2 + dfrac{2y}{3} right)} - 8y = 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$5{left(2 + dfrac{2y}{3} right)} - 8y = 3 Leftrightarrow 5.2 + 5. dfrac{2y}{3}-8y = 3 Leftrightarrow 10 + dfrac{10y}{3} -8y =3$

$Leftrightarrow dfrac{30}{3} +dfrac{10y}{3} - dfrac{24y}{3} = dfrac{9}{3} Leftrightarrow 30+ 10y -24y=9$

$Leftrightarrow -14y=9-30 Leftrightarrow -14y=-21$

$Leftrightarrow y=dfrac{21}{14} Leftrightarrow y= dfrac{3}{2}$

Thay $y= dfrac{3}{2}$ vào (1), ta được:

$x = 2 + dfrac{2. dfrac{3}{2}}{3}=2+dfrac{3}{3}=3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${left(3; dfrac{3}{2} right)}.$

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) $left{begin{matrix} x + ysqrt{5} = 0& & \ xsqrt{5} + 3y = 1 - sqrt{5}& & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} (2 - sqrt{3})x - 3y = 2 + 5sqrt{3}& & \ 4x + y = 4 -2sqrt{3}& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ x + ysqrt 5 = 0 hfill cr xsqrt 5 + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr left( { - ysqrt 5 } right).sqrt 5 + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr - 5y + 3y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr - 2y = 1 - sqrt 5 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr y = dfrac{1 - sqrt 5 }{ - 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - ysqrt 5 hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2}.sqrt 5 hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - dfrac{5 - sqrt 5 }{2} hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{sqrt 5 - 5}{ 2} hfill cr y = dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2} hfill cr} right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${left(dfrac{sqrt 5 - 5}{ 2} ; dfrac{sqrt 5 - 1}{ 2} right)}$

b) $left{begin{matrix} (2 - sqrt{3})x - 3y = 2 + 5sqrt{3}& & \ 4x + y = 4 -2sqrt{3}& & end{matrix}right.$

Ta có:

$left{ matrix{ left( {2 - sqrt 3 } right)x - 3y = 2 + 5sqrt 3 hfill cr 4x + y = 4 - 2sqrt 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ left( {2 - sqrt 3 } right)x - 3left( {4 - 2sqrt 3 - 4x} right) = 2 + 5sqrt 3 (1) hfill cr y = 4 - 2sqrt 3 - 4x (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (1), ta được:

$( 2 - sqrt 3 )x - 3(4 - 2sqrt 3 - 4x) = 2 + 5sqrt 3 Leftrightarrow 2x -sqrt 3 x -12 + 6 sqrt 3 + 12x=2+ 5 sqrt 3$

$Leftrightarrow 2x -sqrt 3 x + 12x=2+ 5 sqrt 3 +12 -6 sqrt 3 Leftrightarrow (2 -sqrt 3 + 12)x= 2+12 +5sqrt 3 -6 sqrt 3$

$Leftrightarrow (14- sqrt 3)x=14-sqrt 3 Leftrightarrow x=1$

Thay x=1, vào (2), ta được:

$y = 4 - 2sqrt 3 - 4.1=-2 sqrt 3.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(1; -2 sqrt 3).$

Giải bài tập toán 9 trang 15 tập 2: Luyện tập

Bài 15 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải hệ phương trình $left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & end{matrix}right.$ trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1

b) a = 0

c) a = 1

Xem gợi ý đáp án

a) a = -1

Thay a = -1 vào hệ, ta được:

$left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ {left((-1)^2+1 right)}x+ 6y = 2.(-1) & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ 2x+ 6y = -2 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x + 3y = 1 & & \ x+ 3y = -1 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 -3y & & \ (1-3y)+ 3y = -1 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 -3y & & \ 1 = -1 (vô lý )& & end{matrix}right.$

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

b) a = 0

Thay a = 0 vào hệ, ta được:

$left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr left( {0 + 1} right)x + 6y = 2.0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x + 6y = 0 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ - 6y + 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ - 3y = 1 hfill cr x = - 6y hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = - 6y hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = - 6. dfrac{ - 1}{3} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = dfrac{ - 1}{3} hfill cr x = 2 hfill cr} right.$

Hệ phương trình có nghiệm ${left(2; -dfrac{1}{3} right)} .$

c) a = 1

Thay a = 1 vào hệ, ta được:

$left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr ({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr 2x + 6y = 2 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x + 3y = 1 hfill cr x + 3y = 1 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\1 - 3y + 3y = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\1 = 1left( {luôn,đúng} right)end{array} right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm $left{ begin{array}{l}x = 1 - 3y\y in mathbb{R}end{array} right.$

Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a) $left{begin{matrix} 3x - y = 5 & & \ 5x + 2y = 23 & & end{matrix}right.$

b) $left{begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \ 2x -y =-8 & & end{matrix}right.$

$c. left{begin{matrix} dfrac{x}{y} = dfrac{2}{3}& & \ x + y - 10 = 0 & & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ 3x - y = 5 hfill cr 5x + 2y = 23 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 5x + 2left( {3x - 5} right) = 23 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 5x + 6x - 10 = 23 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 11x = 23 + 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr 11x = 33 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3x - 5 hfill cr x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 3.3 - 5 hfill cr x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ y = 4 hfill cr x = 3 hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = (3; 4).

b) Ta có:

$left{ matrix{ 3x + 5y = 1 hfill cr 2x - y = - 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 5y = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 5left( {2x + 8} right) = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 10x + 40 = 1 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ 13x = 1 - 40 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ 13x = - 39 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2x + 8 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2.left( { - 3} right) + 8 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 3 hfill cr y = 2 hfill cr} right.$

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).

c) Ta có:

$left{ matrix{ dfrac{x}{y} = dfrac{2}{3} hfill cr x + y - 10 = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr dfrac{2y}{3} + y = 10 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr {left( dfrac{2}{3} + 1 right)}y = 10 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr dfrac{5}{ 3}y = 10 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2y}{3} hfill cr y = 6 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = dfrac{2.6}{3} hfill cr y = 6 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 4 hfill cr y = 6 hfill cr} right.$

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).

Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

$a) left{begin{matrix} xsqrt{2}- y sqrt{3}=1 & & \ x + ysqrt{3} = sqrt{2}& & end{matrix}right.$

$b) left{begin{matrix} x - 2sqrt{2} y = sqrt{5}& & \ xsqrt{2} + y = 1 - sqrt{10}& & end{matrix}right.$

$c. left{begin{matrix} (sqrt{2}- 1)x - y = sqrt{2}& & \ x + (sqrt{2}+ 1)y = 1& & end{matrix}right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có:

$left{ matrix{ xsqrt 2 - ysqrt 3 = 1 hfill cr x + ysqrt 3 = sqrt 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ xsqrt 2 - ysqrt 3 = 1 hfill cr x = sqrt 2 - ysqrt 3 hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ left( {sqrt 2-ysqrt 3 } right)sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 (1) hfill cr x = sqrt 2 - ysqrt 3 (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (1), ta được:

$( sqrt 2 - ysqrt 3)sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 Leftrightarrow (sqrt 2)^2 - ysqrt 3 . sqrt 2 - ysqrt 3 = 1$

$Leftrightarrow 2 - ysqrt 3 . sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 Leftrightarrow -ysqrt 3. sqrt 2 - ysqrt 3 = 1 - 2$

$begin{array}{l} Leftrightarrow - ysqrt 6 - ysqrt 3 = - 1\ Leftrightarrow yleft( {sqrt 6 + sqrt 3 } right) = 1\ Leftrightarrow y = dfrac{1}{{sqrt 6 + sqrt 3 }}\ Leftrightarrow y = dfrac{{sqrt 6 - sqrt 3 }}{3}\ Leftrightarrow y = dfrac{{sqrt 3 left( {sqrt 2 - 1} right)}}{3} end{array}$

Thay y tìm được vào phương trình (2), ta được:

$x = sqrt 2 - dfrac{sqrt 3 (sqrt 2 -1)}{3}.sqrt 3$

$Leftrightarrow x=sqrt 2 - dfrac{sqrt 3 .sqrt 3(sqrt 2 -1)}{3} Leftrightarrow x=sqrt 2 - dfrac{ 3(sqrt 2 -1)}{3} =sqrt 2 - (sqrt 2 -1)$

$Leftrightarrow x=sqrt 2 -sqrt 2 +1=1$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${left( 1;dfrac{sqrt 3 (sqrt 2 -1)}{3} right)}$

b) Ta có:

$left{ matrix{ x - 2sqrt 2 y = sqrt 5 hfill cr xsqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} hfill cr} right.$

$Leftrightarrow left{ matrix{ x = 2sqrt 2 y + sqrt 5 (1) hfill cr left( {2sqrt 2 y + sqrt 5 } right).sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} (2) hfill cr} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$left( {2sqrt 2 y + sqrt 5 } right).sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10} Leftrightarrow 2(sqrt 2 .sqrt 2)y + sqrt 5 .sqrt 2 + y = 1 - sqrt {10}$

$Leftrightarrow 4y + sqrt{10}+y=1- sqrt{10} Leftrightarrow 4y +y=1- sqrt{10}- sqrt{10}$

$Leftrightarrow 5y=1-2 sqrt{10} Leftrightarrow y=dfrac{1-2 sqrt{10}}{5}$

Thay $y=dfrac{1-2 sqrt{10}}{5}$ vào (1), ta được:

$x = 2sqrt 2 .dfrac{1-2 sqrt{10}}{5} + sqrt 5= dfrac{2sqrt 2 -4 sqrt{20}}{5} + sqrt 5$

$Leftrightarrow x=dfrac{2sqrt 2 -4 .2sqrt{5}}{5} + sqrt 5=dfrac{2sqrt 2 -8sqrt{5}+ 5sqrt 5}{5}$

$Leftrightarrow x=dfrac{2 sqrt 2 -3 sqrt 5}{5}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: $(x; y) = {left(dfrac{2sqrt{2} - 3sqrt{5}}{5};dfrac{1 - 2sqrt{10}}{5}right)}$

c) Ta có:

$left{ matrix{ left( {sqrt 2 - 1} right)x - y = sqrt 2 hfill cr x + left( {sqrt 2 + 1} right)y = 1 hfill cr} right.$

$left{ begin{array}{l}y = left( {sqrt 2 - 1} right)x - sqrt 2 ,,,,,left( 1 right)\x + left( {sqrt 2 + 1} right)left[ {left( {sqrt 2 - 1} right)x - sqrt 2 } right] = 1,,,left( 2 right)end{array} right.$

Giải phương trình (2), ta được:

$x + left( {sqrt 2 + 1} right)left[ { left( {sqrt 2 - 1} right)x} -sqrt 2 right] = 1$

$Leftrightarrow x + (sqrt 2 + 1) (sqrt 2 - 1)x -( sqrt 2 + 1). sqrt 2 = 1$

$Leftrightarrow x + {left((sqrt 2)^2 - 1^2 right)}x-( 2 + sqrt 2) = 1$

$Leftrightarrow x + x = 1+( 2 + sqrt 2) Leftrightarrow 2x =3 +sqrt 2 Leftrightarrow x=dfrac{3+ sqrt 2}{2}$

Thay $x=dfrac{3+ sqrt 2}{2}$ vào (1), ta được:

$y = left( {sqrt 2 - 1} right).dfrac{3+ sqrt 2}{2} - sqrt 2$

$Leftrightarrow y= dfrac{(sqrt 2 - 1 )(3+ sqrt 2)}{2} - sqrt 2 Leftrightarrow y= dfrac{3sqrt 2 -3 +2 -sqrt 2}{2} - sqrt 2$

$Leftrightarrow y= dfrac{2sqrt 2 -1}{2} - sqrt 2 Leftrightarrow y= dfrac{2sqrt 2 -1-2sqrt 2}{2} Leftrightarrow y= dfrac{-1}{2}$

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = {left(dfrac{3 + sqrt{2}}{2};dfrac{-1}{2} right)}$

Bài 18 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình

$left{begin{matrix} 2x + by=-4 & & \ bx - ay=-5& & end{matrix}right.$

có nghiệm là (1; -2)

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là $(sqrt{2} - 1; sqrt{2}).$

Xem gợi ý đáp án

a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) khi và chỉ khi (1; -2) thỏa mãn hệ phương trình. Thay x=1, y=-2 vào hệ, ta có:

$left{begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} 2b=6 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ b+2a=-5 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 3+2a=-5 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 2a = -5 - 3& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ 2a = -8& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b=3 & & \ a = -4 & & end{matrix}right.$

Vậy a=-4, b=3 thì hệ có nghiệm là (1; -2).

b) Thay $x=sqrt 2 - 1; y= sqrt 2$ vào hệ phương trình đã cho, ta có:

$left{begin{matrix} 2(sqrt{2}-1)+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} 2sqrt{2}-2+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} 2sqrt{2}-2+bsqrt{2}= -4 & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} bsqrt{2}= -2 - 2sqrt{2} & & \ (sqrt{2}-1)b - asqrt{2}= -5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} b= -(2 + sqrt{2}) & & \ asqrt{2}= -(2 + sqrt{2})(sqrt{2}-1)+5& & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} b= -(2 + sqrt{2}) & & \ asqrt{2}= -sqrt{2}+5& & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} a = dfrac{-2+5sqrt{2}}{2} & & \ b = -(2+ sqrt{2})& & end{matrix}right.$

Vậy $a = dfrac{-2+5sqrt{2}}{2}, b=-(2+ sqrt{2})$ thì hệ trên có nghiệm là $(sqrt 2 -1; sqrt 2).$

Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 2)

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0.

Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

$P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n$

Xem gợi ý đáp án

+) Ta có: P(x) chia hết cho $x + 1 Leftrightarrow P(-1)=0$

$Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m - 2).(-1)^2 - (3n - 5).(-1) - 4n=0$

$Leftrightarrow -m + m - 2 + 3n - 5 - 4n = 0 Leftrightarrow -n-7=0 Leftrightarrow n+7=0 (1)$

+) Lại có: P(x) chia hết cho $x - 3 Leftrightarrow P(3)=0$

$Leftrightarrow m.3^3 + (m - 2).3^2 - (3n - 5).3 - 4n=0$

$Leftrightarrow 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0$

$Leftrightarrow 27m + 9m - 18 - 9n + 15 - 4n = 0$

$Leftrightarrow 36m-13n=3 (2)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.

$left{begin{matrix} n+7 = 0 & & \ 36m - 13n = 3 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7 & & \ 36m -13.(-7)= 3 & & end{matrix}right.$

$Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7 & & \ 36m = -88 & & end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} n = -7& & \ m = dfrac{-22}{9}& & end{matrix}right.$