Đặt (t = tan x) ta được (dfrac{1}{t} – 1 = dfrac{{dfrac{{1 – {{mathop{rm t}nolimits} ^2}}}{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {mathop{rm t}nolimits} }} + dfrac{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2}}}{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}} – dfrac{{mathop{rm t}nolimits} }{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}})
Đề bài
Giải phương trình sau
(cot x – 1 = )
(dfrac{{cos 2x}}{{1 + tan x}} + {sin ^2}x – dfrac{1}{2}sin 2x).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ của hàm số dạng (y = dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}) là (g(x) ne 0).
Sử dụng công thức (cot x = dfrac{1}{{tan x}}); công thức nhân đôi (cos 2x = 2{cos ^2}x – 1); (sin 2x = 2sin xcos x); (dfrac{1}{{{{sin }^2}x}} = 1 + {cot ^2}x); (dfrac{1}{{{{cos }^2}x}} = {tan ^2}x + 1) để đưa phương trình về phương trình của hàm (tan x).
Sau đó ta đặt (t = tan x) để phương trình dễ nhìn hơn.
Sử dụng hằng đẳng thức số ba ({a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b)) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: (sin x ne 0); (cos x ne 0) và (tan x ne – 1).
Ta có: (cot x = dfrac{1}{{tan x}});
(begin{array}{l}cos 2x = 2{cos ^2}x – 1\ = 2dfrac{1}{{{{tan }^2}x + 1}} – 1\ = dfrac{{1 – {{tan }^2}x}}{{{{tan }^2}x + 1}}end{array});
(begin{array}{l}{sin ^2}x = 1 – {cos ^2}x\ = 1 – dfrac{1}{{{{tan }^2}x + 1}} = dfrac{{{{tan }^2}x}}{{{{tan }^2}x + 1}}end{array});
(begin{array}{l} – dfrac{1}{2}sin 2x = – sin xcos x\ = – dfrac{{sin x}}{{cos x}}{cos ^2}x = – tan xdfrac{1}{{{{tan }^2}x + 1}}end{array})
Phương trình (cot x – 1 )
(=dfrac{{cos 2x}}{{1 + tan x}} + {sin ^2}x – dfrac{1}{2}sin 2x)
( Leftrightarrow dfrac{1}{{tan x}} – 1 )
(=dfrac{{dfrac{{1 – {{tan }^2}x}}{{{{tan }^2}x + 1}}}}{{1 + tan x}} + dfrac{{{{tan }^2}x}}{{{{tan }^2}x + 1}} – dfrac{{mathop{rm tan x}nolimits} }{{{{tan }^2}x + 1}})
Đặt (t = tan x) ta được (dfrac{1}{t} – 1 = dfrac{{dfrac{{1 – {{mathop{rm t}nolimits} ^2}}}{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {mathop{rm t}nolimits} }} + dfrac{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2}}}{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}} – dfrac{{mathop{rm t}nolimits} }{{{{mathop{rm t}nolimits} ^2} + 1}})
( Leftrightarrow dfrac{1}{t} – 1 = dfrac{{1 – t}}{{{t^2} + 1}} + dfrac{{{t^2} – t}}{{{t^2} + 1}})
( Leftrightarrow dfrac{{1 – t}}{t} = dfrac{{1 – t}}{{{t^2} + 1}} + dfrac{{t(t – 1)}}{{{t^2} + 1}})
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1 – t = 0\dfrac{1}{t} = dfrac{1}{{{t^2} + 1}} – dfrac{t}{{{t^2} + 1}}end{array} right.)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\{t^2} + 1 = (1 – t)tend{array} right.)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\2{t^2} – t + 1 = 0text{(vô nghiệm)}end{array} right.)
(begin{array}{l}t = 1 Leftrightarrow tan x = 1\ Leftrightarrow x = dfrac{pi }{4} + kpi in mathbb{Z}text{(thỏa mãn)}end{array})
Vậy phương trình có nghiệm là (x = dfrac{pi }{4} + kpi in mathbb{Z}).
Cách khác:
Điều kiện của phương trình: sinx 0, cos 0, tan -1.
Biến đổi tương đương đã cho, ta được
Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| 2.
Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ,k Z x = π/4+ k π/2,k Z.
Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n Z bị loại do điều kiện tanx -1.
Vậy phương trình có nghiệm là (x = dfrac{pi }{4} + kpi in mathbb{Z}).
Video liên quan
