Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ, Tài Liệu Học Thi xin giới thiệu đến các quý phụ huynh, thầy cô và các em tài liệu Hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cơ bản trong toán học. Hy

Hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức rất quan trọng mà người học toán thường xuyên sử dụng, trong suốt quá trình học phổ thông lẫn đại học.

Nhằm giúp các em vận dụng công thức vào làm bài tập hiệu quả hơn Tài Liệu Học Thi giới thiệu đến các em tài liệu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả được chúng tôi tổng hợp chi tiết, chính xác và đăng tải ngay sau đây.

Trong suốt chương trình toán phổ thông và đại học, người học toán thường xuyên sử dụng 7 hằng đẳng thức sau, gọi là những hằng đẳng thức đáng nhớ (học sinh được học trong chương trình Toán lớp 8 ở THCS).

Xem Tắt

1 Hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Hệ quả hằng đẳng thức

Bình phương của một tổng

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$

$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

$(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc$

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2$

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2$

$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

Hệ quả tổng quát

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+ldots+a^2b^{n-3}-acdot b^{n-2}+b^{n-1})$

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.