Tổng hợp các dạng toán về dấu hiệu chia hết

Các dạng toán về dấu hiệu chia hết là tài liệu vô cùng bổ ích, tổng hợp các dạng Toán, bài tập vận dụng tính chất chia hết để giải. Giúp các em học sinh lớp 4, lớp 5 nắm chắc và vận dụng tính chất chia hết để giải các bài Toán nâng cao, các dạng bài tập thi học sinh giỏi.

Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, tự tin hơn khi làm các bài toán về dấu hiệu chia hết. Mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Tổng hợp các dạng toán về dấu hiệu chia hết

Phần 1: Dấu hiệu chia hết

Kiến thức cần nắm:

– Học sinh nắm được 2 nhóm dấu hiệu cơ bản:

+ Dấu hiệu chia hết cho 2; 5. (xét chữ số tận cùng)

+ Dấu hiệu chia hết cho 3; 9. (xét tổng các chữ số)

+ Nắm được các dấu hiệu chia hết cho 4 ; 8

+ Nắm được các dấu hiệu chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 72 …

+ Nắm được một số tính chất của phép chia hết và phép chia có dư.

– Biết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định số dư trong các phép chia.

– Biết dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm số và lập các số theo yêu cầu.

1. Lập số theo yêu cầu

1- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 2;

b. Chia hết cho 3;

c. Chia hết cho 5;

d. Chia hết cho 9.

g. Chia hết cho cả 5 và 9. (mỗi dạng viết 5 số).

2- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 6;

b. Chia hết cho 15;

c. Chia hết cho 18;

d. Chia hết cho 45.

3- Viết 5 số có 5 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 12;

b. Chia hết cho 24;

c. Chia hết cho 36;

d. Chia hết cho 72.

4- Với 3 chữ số: 2; 3; 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số: (3, 4, 5)

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 5.

c. Chia hết cho 3.

5 – Với 3 chữ số: 1; 2; 3; 5 (1, 3, 8, 5). Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau:

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 5.

c. Chia hết cho 3.

6 – Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số: 0; 5; 4; 9 và thoả mãn điều kiện:

a. Chia hết cho 2.

b. Chia hết cho 4.

c. Chia hết cho cả 2 và 5.

7 – Cho 3 chữ số: 0; 1; 2. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5.

– Cho 3 chữ số: 0; 1; 2. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5.

– Cho 4 chữ số: 0; 1; 2; 3. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5 sao cho mỗi số đều có đủ 4 chữ số đã cho.

8 – Cho 5 chữ số: 8; 1; 3; 5; 0. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số vừa chia hết cho 9 (Mỗi chữ số chỉ được xuất hiện một lần trong mỗi số ).

9 – Cho 4 chữ số: 0; 1; 2; 5. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số vừa chia hết cho 5 (Mỗi chữ số chỉ được xuất hiện một lần trong mỗi số).

– Hãy ghép 4 chữ số: 3; 1; 0; 5 thành những số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho 5.

2. Tìm số:

1 – Tìm x, y để số 1996xy chia hết cho cả 2; 5 và 9. (a125b)

2 – Tìm m, n để số m340n chia hết cho 45.

3 – Xác định x, y để phân số x23y/45 là một số tự nhiên.

4 – Tìm số có hai chữ số biết số đó chia cho 2 dư 1; chia cho 5 dư 2 và chia hết cho 9.

5 – Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1; chia 3 dư 2.

6 – Cho A = a459b. Hãy thay a, b bằng những số thích hợp để A chia cho 2, cho 5, cho 9 đều cho số dư là 1.

7 – Cho B = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những số thích hợp để được một số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, cho 3, và chia cho 5 dư 4.

8 – Một số nhân với 9 thì được kết quả là 30862a3. Tìm số đó.

3. Vận dụng tính chất chia hết:

1 – Không làm tính, hãy chứng tỏ rằng:

a, Số 171717 luôn chia hết cho 17.

b, aa chia hết cho 11.

2 – Cho tổng A = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 + 71. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết A có chia hết cho 9 không? Vì sao?

Phần II: Vận dụng dấu hiệu chia hết để giải Toán

Dạng 1. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết

Ví dụ 1: Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.

Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2007ab ta được 2007a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.

Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.

Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là:

– A – r chia hết cho B (1)

– A + (B – r) chia hết cho B (2)

Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán:

Ví dụ 2: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

Nhận xét: A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1 nên A – 1 đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A – r chia hết cho B để giải.

Giải: Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A – 1 chia hết cho 2 ; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A – 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A – 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.

Ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét:

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.

Tuy các số dư khác nhau nhưng: 2 – 1 = 1 ; 3 – 2 = 1 ; 4 – 3 = 1 ; 5 – 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B – r) chia hết cho B để giải bài toán này.

Giải: Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3; 6; 9 ta có số 30; 60; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.

Vậy A +1 = 60

A = 60 – 1

A = 59

Do đó số cần tìm là 59.

Bài luyện tập:

Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 đều dư 1.

Bài 2: Cho số a765b ; tìm a ; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số chia cho 2 dư 1 ; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.

Bài 3: Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.

Bài 4: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2 ; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.

Dạng 2. Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết

Ví dụ: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? Hãy tìm số đó.

Giải: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? nên số 180 648 07? chia hết cho 9. Vì số 180 648 07? chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2 vào số 180 648 07? ta được 180 648 072. Số cần tìm là:

180 648 072: 9 = 20072008.

Dạng 3. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) một số nào đó

Ví dụ: Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.

Giải: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3, nhưng tổng các chữ số của số A và số B như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9. Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của chúng như nhau) (3). Từ (1) và(3), suy ra B chia hết cho 27.

Dạng 4. Các bài toán thay chữ bằng số

Ví dụ: Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau)

HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006

Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG. Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT2006 không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán.

……

Tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết