Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

CHUYÊN ĐỀ 1 – PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. MỤC TIÊU:

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)/(a-1) và f(-1)/(a+1) đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x² – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x + 4 = 3x² – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x + 4 = (4x² – 8x + 4) – x² = (2x – 2)² – x² = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) = (x – 2)(3x – 2)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1:

4x⁴ + 81 = 4x⁴ + 36x² + 81 – 36x² = (2x² + 9)² – 36x² = (2x² + 9)² – (6x)² = (2x² + 9 + 6x)(2x² + 9 – 6x) = (2×2 + 6x + 9 )(2x² – 6x + 9)

Ví dụ 2:

x⁸ + 98x⁴ + 1 = (x⁸ + 2x⁴ + 1 ) + 96x⁴
= (x⁴ + 1)² + 16x²(x4 + 1) + 64x⁴ – 16x²(x⁴ + 1) + 32x⁴
= (x⁴ + 1 + 8x²)² – 16x²(x⁴ + 1 – 2x²) = (x⁴ + 8x² + 1)² – 16x²(x² – 1)²
= (x⁴ + 8x² + 1)² – (4x³ – 4x)²
= (x⁴ + 4x³ + 8x² – 4x + 1)(x⁴ – 4x³ + 8x² + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1:

x⁷ + x² + 1 = (x⁷ – x) + (x² + x + 1 ) = x(x⁶ – 1) + (x² + x + 1 )
= x(x³ – 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1 ) = x(x – 1)(x² + x + 1 )(x³ + 1) + (x² + x + 1)
= (x² + x + 1)[x(x – 1)(x³ + 1) + 1] = (x² + x + 1)(x⁵ – x⁴ + x² – x + 1)

Ví dụ 2:

x⁷ + x⁵ + 1 = (x⁷ – x ) + (x⁵ – x² ) + (x² + x + 1)
= x(x³ – 1)(x³ + 1) + x²(x³ – 1) + (x² + x + 1)
= (x² + x + 1)(x – 1)(x⁴ + x) + x²(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)
= (x² + x + 1)[(x⁵ – x⁴ + x² – x) + (x³ – x²) + 1] = (x² + x + 1)(x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x^{3m + 1} + x^{3n + 2} + 1 như: x⁷ + x² + 1; x⁷ + x⁵ + 1; x⁸ + x⁴ + 1; x⁵ + x + 1; x⁸ + x + 1; … đều có nhân tử chung là x² + x + 1

CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP

A. MỤC TIÊU:

* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp

* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế

* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS

B. KIẾN THỨC:

I. Chỉnh hợp:

1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy

Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu A^k_n

2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử

II. Hoán vị:

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy

Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu P_n

2. Tính số hoán vị của n phần tử
(n! : n giai thừa)

III. Tổ hợp:

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy

Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu C^k_n

2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

Download tài liệu để xem chi tiết.