Giải bài tập Toán 7 Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Ta có:

a.

Ta có:

Vậy những phân số biểu diễn số hữu tỉ là

b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.

a) Với và

Ta quy đồng mẫu số:

và

Mà

⇒ x < y

b) Với và

Ta quy đồng mẫu số:

và

Mà (Vì −213>−216) ⇒ x>y

c) Với x = -0,75 và

Ta có: -0,75 = -0,75. Do đó x = y

Theo đề bài ta có với (a, b ∈ Z, b ≠0)

+ Trường hợp 1: Với a, b ∈ Z, b > 0 ta có:

a) Khi a, b cùng dấu mà b > 0 thì a > 0. Do đó số hữu tỉ

b) Khi a, b khác dấu mà b > 0 thì a < 0. Do đó số hữu tỉ

+ Trường hợp 2: Với a, b ∈ Z, b < 0 ta có:

a) Khi a, b cùng dấu mà b < 0 thì a < 0. Do đó số hữu tỉ

b) Khi a, b khác dấu mà b < 0 thì a > 0. Do đó số hữu tỉ

Kết luận: Với a, b ∈ Z, b ≠0 ta có:

+ Khi a, b cùng dấu thì số hữu tỉ

+ Khi a, b khác dấu thì số hữu tỉ

Ta có: (với a, b, m ∈ ℤ, m > 0) và x < y

Do đó a < b ⇒ a.m < b.m

+ Ta chứng minh x < z hay ​​

Ta có: a.m < b.m

⇒ a.m + a.m < b.m + a.m ( cộng hai vế với a.m)

⇒ 2am < (a + b)m⇒ a < ⇒ (chia hai vế cho m > 0)

Vậy x < z (1)

+ Ta chứng minh z < y hay

Ta có: a.m < b.m

⇒a.m + b.m < b.m + b.m (cộng hai vế với b.m)

⇒ (a + b ).m < 2.b.m

⇒ a + b < 2b (chia hai vế cho m )

⇒ (chia cả hai vế cho 2m)

Hay z < y (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x < z < y.

Nhận xét: Từ kết quả trên ta rút ra kết luận: Trên trục số, giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kì bao giờ cũng có ít nhất một điểm hữu tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ. Ta bảo tập hợp Q là tập trù mật.