Đây là dạng toán khá phổ biến trong các đề kiểm tra cũng như là các đề thi. Bài viết này giúp các em có phương pháp làm cụ thể để giải quyết mọi bài toán về tìm nghiệm thuộc (a;b) của phương trình lượng giác. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng và tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho sẽ được giải quyết trong bài viết dưới đây.
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Xem Tắt
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
A. Cách tìm nghiệm của phương trình và phương pháp giải
Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:
+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )
+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.
B. Ví dụ minh họa về cách tìm số nghiệm của phương trình
phương trình cosx=1/3 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn 0 3pi
Tìm m de phương trình có nghiệm thuộc khoảng lớp 11
Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:
– 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.
+Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :
Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:
at2 + bt + c= 0 (*)
để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t0 và -1 ≤ t0 ≤ 1
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Ta có sin2 x- sinx= 0
+ với họ nghiệm x= kπ.
Ta có: 0 < kπ < 2π
⇒ 0 < k < 2
Mà k nguyên nên k= 1
+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π
Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π
⇒ – π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4
Mà k nguyên nên k= 0
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)
A. 0
B.1
C. 2
D .3
Lời giải
Ta có : cos(x- 1800) = – cosx và sin(900- x)= cosx
Do đó; cos( x- 1800) + 2sin(900- x)
⇒ – cosx +2cosx = 1
⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.3600
Với x∈ ( 900; 3600) ta có:
900 < x < 3600 ⇒ 900 < k.3600 < 3600
⇒ 1/4 < k < 1
⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Lời giải
Ta có:cosx – sin2x= 0
⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(900-2x)
+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600]
*Với họ nghiệm: x= 300+k.1200 ta có:
00 ≤ 300+k.1200 ≤ 3600
⇒ -300 ≤ k.1200 ≤ 3300 (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4
Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700
* Với họ nghiệm x= 900-k.3600 ta có:
00 ≤ 900-k.3600 ≤ 3600
⇒ – 900 ≤ -k.3600 ≤ 2700
⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4
Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 900
⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm
Chọn A.
Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình – 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700)
A. 1350
B. 1650
C. 2250
D. Tất cả sai
Lời giải
Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2= 0
⇒ – 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1
⇒ x= 450+ k.1800
Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700)
Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k.1800 < 2700
⇒ 450 < k.1800 < 2250
⇒ 1/4 < k < 5/4
Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 2250
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]
A. 0
B. 3
C. 4
D. 2
Lời giải
Ta có: cos0 x+ sinx +1= 0
⇒ 1-sin0 x + sinx +1 = 0
⇒ – sin0 x+ sinx + 2= 0
⇒ sinx= – 1 ⇒ x= 2700+ k.3600
+ Ta có: 00 ≤ 2700+k.3600 ≤ 7200
⇒ -2700 ≤ k.3600 ≤ 4500
⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4
Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200]
Chọn D
Ví dụ 7. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).
A.900
B. 1800
C. 1650
D. 2700
Lời giải.
Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0
⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0
⇒ – cos2 2x + cos2x + 2= 0
Với cos2x= -1 ⇒ 2x=1800+ k.3600
⇒ x= 900 + k.1800
Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800)
⇒ 00 < 900+ k.1800 < 1800
⇒ -900 < k.1800 < 900
⇒ (- 1)/2 < k < 1/2
K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 900
Chọn A.
Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π)
A. 15π/4
B. 13π/4
C. 5π/2
D. Đáp án khác
Lời giaỉ
Ta có; cos4 x- sin4 x = 0
⇒ ( cos2 x – sin2 x) .(cos2 x+ sin2 x) = 0
⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0
⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2
Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)
Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π
⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2
Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}
⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4
⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4
Chọn A.
tìm nghiệm thuộc khoảng (0 2pi)
Tìm nghiệm x thuộc [0 ; 2 pi ] của pt sin 2x = căn 2/ 2
ta có : sin2x=√22=sinπ4⇔⎡⎢⎣2x=π4+k2π2x=π−π4+k2πsin2x=22=sinπ4⇔[2x=π4+k2π2x=π−π4+k2π
⇔⎡⎢ ⎢⎣x=π8+kπ2x=3π8+kπ⇔[x=π8+kπ2x=3π8+kπ (k∈Zk∈Z)
+) x=π8+kπx=π8+kπ ; x∈[0,2π]x∈[0,2π] ⇒0≤π8+kπ≤2π⇒0≤π8+kπ≤2π ⇔−π8≤kπ≤15π8⇔−π8≤kπ≤15π8 ⇔−18≤k≤158⇔−18≤k≤158 ⇒k=0;k=1⇒k=0;k=1
⇒x=π4;x=π4+π=5π4⇒x=π4;x=π4+π=5π4
+) x=3π8+kπx=3π8+kπ x∈[0,2π]x∈[0,2π] ⇒0≤3π8+kπ≤2π⇒0≤3π8+kπ≤2π ⇔−3π8≤kπ≤13π8⇔−3π8≤kπ≤13π8 ⇔−38≤k≤138⇔−38≤k≤138 ⇒k=0;k=1⇒k=0;k=1
⇒x=3π4;x=3π4+π=7π4⇒x=3π4;x=3π4+π=7π4
vậyx=π4;x=π4+π=5π4x=π4;x=π4+π=5π4
;x=3π4;x=3π4+π=7π4;x=3π4;x=3π4+π=7π4
-
- bạn có thể để như thế này còn không bn có thể gôm nghiệm bằng đường tròn lượng giác nha .
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình
. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?
A. 3
B.4
C. 5
D. 6
Câu 2:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 3:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Câu 4:Cho phương trình:
.Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?
A. 3
B.5
C.6
D.4
Câu 5:Cho phương trình : tan4 x – 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
Câu 6:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]
A. 5
B.3
C.4
D. 6
Câu 7:Cho phương trình 3cot(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Câu 8:Cho phương trình:
. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?
A. 3
B.5
C. 4
D.6
Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho bằng Máy Tính
Phương pháp sử dụng Casio fx 580VNX để tìm số nghiệm của phương trình lượng giác:
[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]
- Đưa phương trình về dạng f(x)=0
- Dùng phương thức TABLE lập bảng giá trị của f(x) trên khoảng (a;b)
- Số lần đổi dấu của f(x) là số nghiệm của phương trình trên khoảng (a;b)
[/dropshadowbox]
Bài toán 1. Xác định số nghiệm của phương trình cosx=1314 trên đoạn [−π2;2π]
A.2 B. 3 C. 4 D.5
Hướng dẫn giải
Cách 1. Giải bằng Máy tính Casio fx 580VNX
Chuyển máy tính về chế độ Radian qw22
Cài đặt tính toán TABLE với một hàm số qwRR11
Vào phương thức TABLE w8
Nhập vào hàm số f(x)=cosx−1314 và bảng giá trị Start=−π2 , End=2π , Step=2π+π244
Nhắc lại: Giá trị hàm số f(x) đổi dấu khi đi qua x=x1 và x=x2 thì phương trình f(x)=0 sẽ có một nghiệm trong khoảng (x1;x2)
Quan sát bảng kết quả, ta nhận thấy
- Ở hàng thứ 7 và hàng thứ 8, f(x) đổi dấu.
Suy ra phương trình f(x)=0 có một nghiệm thuộc (−0.499;−0.321)
- Ở hàng thứ 11 và hàng thứ 12, f(x) đổi dấu.
Suy ra phương trình f(x)=0 có một nghiệm thuộc (0.2141;0.3926)
- Ở hàng thứ 42 và hàng thứ 43, f(x) đổi dấu.
Suy ra phương trình f(x)=0 có một nghiệm thuộc (5.7476;5.9261)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên đoạn [−π2;2π]
Đáp án B
Cách 2. Dùng đường tròn lượng giác
Biểu diễn cung từ −π2 đến 2π trên một đường tròn lượng giác và kẻ đường thẳng x=1314
Quan sát hình vẽ ta thấy đường thẳng x=1314 giao với cung lượng giác tại 3 điểm
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên đoạn [−π2;2π]
Đáp án B
Cách 3. Phương pháp tự luận
cosx=1314⇔x=±arccos1314+k2π(k∈Z)
TH1. x=arccos1314+k2π
Ta có x∈[−π2;2π], nên−π2≤arccos1314+k2π≤2π →−0.3105≤k≤0.9394
Suy ra k=0 . Khi đó x=arccos1314
TH2. x=−arccos1314+k2π
Suy ra k=0,k=1 . Khi đó x=−arccos1314,x=−arccos1314+2π
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên đoạn [−π2;2π]
Để có thêm nhiều ví dụ về dạng toán tìm số nghiệm của phương trình lượng giác, mời bạn đọc đón đọc các phần tiếp theo của chủ đề này.
Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về các bài viết hướng dẫn giải toán casio cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
- Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
- Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
- Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
- Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
- Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
- Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại duongleteach.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác
Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
Cách tìm nghiệm của phương trình
Tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đã cho bằng Máy Tính
Cách tìm số nghiệm của phương trình
phương trình cosx=1/3 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn 0 3pi
Tìm m de phương trình có nghiệm thuộc khoảng lớp 11
tìm nghiệm thuộc khoảng (0 2pi)
Tìm các nghiệm thuộc khoảng 0 2pi của phương trình
