Bài 1 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0;} )
b) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} )
Phương pháp:
a) Thay vectơ (overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} )
b) Bước 1: chèn điểm O: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} )
Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 ) (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)
Trả lời:
a) ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} )
( Rightarrow overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {BB} = overrightarrow 0 )
b) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {BA} } right) + left( {overrightarrow {MD} + overrightarrow {DC} } right))
(= left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} } right) + left( {overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC}} right))
(= overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} ) (Vì (overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0} ))
Bài 2 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:
a) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA});
b) (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} )
c) (overrightarrow {CB} – overrightarrow {CD} ).
Trả lời:
a) Ta có:
(overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} } right) = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} = overrightarrow {AA} = overrightarrow 0 )
b) Ta có:
(overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {DB} )
c) Ta có:
(overrightarrow {CB} – overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {DB} )
Bài 3 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:
a) (overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} );
b) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} );
c) (overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} ).
Phương pháp:
a) Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
b)
Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC, xác định giao điểm của 2 đường chéo là điểm O.
Bước 2: Xác định vecto tổng (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = ?)
Bước 3: Tính độ dài của vecto tìm được
c)
Bước 1: Thay thế vecto đối (overrightarrow {AB} = – overrightarrow {BA} )
Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm tính vecto tổng
Bước 3: Tính độ dài
Trả lời:
a) ()(overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} Rightarrow left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = a)
b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:
(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD} )
(AD = 2AO = 2sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = 2sqrt {{a^2} – {{left( {frac{a}{2}} right)}^2}} = asqrt 3 )
( Rightarrow left| {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = asqrt 3 )
c) (overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {CA} )
( Rightarrow left| {overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} } right| = left| {overrightarrow {CA} } right| = CA = a)
Bài 4 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC;} )
b) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow 0 )
Phương pháp:
Vận dụng quy tắc hiệu: ( overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} )
Trả lời:
a) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} )
(overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC} = overrightarrow {CD} )
Do ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD} )
Suy ra, (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC} )
b) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = (overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC}) + overrightarrow {DC} \= overrightarrow {CD} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {CC} = overrightarrow 0 )
Bài 5 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho ba lực (overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {MA} ,overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {MB} )và (overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MC} ) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ) đều là 10 N và (widehat {AMB} = 90^circ ) Tìm độ lớn của lực (overrightarrow {{F_3}} ).
Trả lời:
Ba lực (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}} ) cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: ()(overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} = overrightarrow 0 )
Dựng hình bình hành (MADB), khi đó: (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB}= overrightarrow {MD})
( Rightarrow overrightarrow {MD} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {0})
( Rightarrow overrightarrow {MD}, overrightarrow {MC}) là hai vecto đối nhau
( Rightarrow MD =MC)
Xét hình bình hành MADB, ta có:
AM=AB và (widehat {AMB} = 90^circ )
( Rightarrow) MADB là hình vuông, cạnh (AB=10)
( Rightarrow MC = MD = AB. sqrt{2} = 10sqrt{2})
Vậy độ lớn của lực (overrightarrow {{F_3}} ) là (left| {overrightarrow {{F_3}} } right| = left| {overrightarrow {MC} } right| = MC = 10sqrt 2 ) (N)
Bài 6 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Khi máy bay nghiêng cánh một góc (alpha ), lực (overrightarrow F ) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng (overrightarrow {{F_1}} ) và lực cản (overrightarrow {{F_2}} ) (Hình 16). Cho biết (alpha = 30^circ )và (left| {overrightarrow F } right| = a). Tính (left| {overrightarrow {{F_1}} } right|) và (left| {overrightarrow {{F_2}} } right|) theo a.
Trả lời:
Kí hiệu các điểm như hình dưới.
Khi đó các lực (overrightarrow F ,overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ) lần lượt là (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} ,overrightarrow {AB} )
(alpha = widehat {{rm{BAx}}} = 30^circ ) ( Rightarrow widehat {CAB} = 60^circ )
(AB = AC.c{rm{os}}widehat {CAB} = a.c{rm{os60}}^circ {rm{ = }}frac{a}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = left| {overrightarrow {AB} } right| = frac{a}{2})
(AD = BC = AC.sin widehat {CAB} = a.sin 60^circ = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = frac{{asqrt 3 }}{2})
Vậy (left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = frac{{asqrt 3 }}{2};left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = frac{a}{2})
Bài 7 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn (overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0 ). Tính độ dài các vectơ (overrightarrow {KA} ,overrightarrow {GH} ,overrightarrow {AG} ).
Trả lời:
Ta có (AC = ABsqrt 2 = asqrt 2 )
+) (overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ),
Suy ra K là trung điểm AC ( Rightarrow AK = frac{1}{2}.asqrt 2 = frac{{asqrt 2 }}{2})
+) (overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0 ), suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC
(Rightarrow DH = frac{2}{3}DK = frac{1}{3}DB) (1)
+) (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ), suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
(Rightarrow BG = frac{2}{3}BK = frac{1}{3}BD) (2)
((1,2) Rightarrow HG = frac{1}{3}BD=frac{{asqrt 2 }}{3})
Mà (KG = KH = frac{1}{2}HG= frac{{asqrt 2 }}{6}) (2)
(Rightarrow AG = sqrt {A{K^2} + G{K^2}} = sqrt {{{left( {frac{{asqrt 2 }}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{asqrt 2 }}{6}} right)}^2}} = frac{{asqrt 5 }}{3})
( Rightarrow left| {overrightarrow {AG} } right| = frac{{asqrt 5 }}{3})
Vậy (left|overrightarrow {KA}right| =frac{{asqrt 2 }}{2} ,left|overrightarrow {GH}right|=frac{{asqrt 2 }}{3} ,left|overrightarrow {AG}right|=frac{{asqrt 5 }}{3} ).
Bài 8 trang 93 SGK Toán lớp 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.
Trả lời:
Gọi vecto vận tốc của tàu là (overrightarrow {AB} ), vecto vận tốc của dòng nước là vecto (overrightarrow {BC} )
Ta có vecto tổng là (overrightarrow F = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Độ dài vecto tổng là (left| {overrightarrow F } right| = left| {overrightarrow {AC} } right| = AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{{30}^2} + {{10}^2}} = 10sqrt {10} )(km/h)
Vậy độ dài vecto tổng là (10sqrt {10} )(km/h).
Giaibaitap.me
Nguồn: https://quatangtiny.com
Danh mục: GA Toán lớp 10
