Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : x+2y 5 = 0 tại A(3 1) và qua điểm B 6 4

a, R=IM=52=>(C): (x+2)2+(y-3)2=52 b, R=d(I,∆)=255=>(C): (x+1)2+(y-2)2=45 c, R=AB2=13Tâm I là trung điểm AB=>I=(4;3)=>(C): (x-4)2+(y-3)2=13..

…Xem thêm

Bạn Đang Xem: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : x+2y 5 = 0 tại A(3 1) và qua điểm B 6 4

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

Cho đường tròn (C) tâm $Ileft( a;b right)$, bán kính R

Nếu biết tiếp điểm là $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ $overrightarrow{IM}left( {{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $left( {{x}_{0}}-a right)left( x-{{x}_{0}} right)+left( {{y}_{0}}-b right)left( y-{{y}_{0}} right)=0$

Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng $Delta $ tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi $dleft( I;Delta right)=R$ để xác định tiếp tuyến.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm hai điểm $Aleft( 1;-1 right);,,Bleft( 1;3 right)$

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.

Xem Thêm : 7 tả cảnh bình minh trên biển nha trang hay nhất, đừng bỏ qua

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm $Ileft( 3;-1 right)$ bán kính $R=sqrt{{{3}^{2}}+1-6}=2$.

a) Ta có: $IA=2=R;,IB=2sqrt{5}>R$ suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn

b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận $overrightarrow{IA}=left( 2;0 right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2left( x-1 right)+0left( y+1 right)=0$ hay $x=1$

b) Phương trình đường thẳng $Delta $ đi qua B có dạng:

$aleft( x-1 right)+bleft( y-3 right)=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 0$) hay $ax+by-a-3b=0$

Đường thẳng $Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn $Leftrightarrow dleft( I;Delta right)=R$

$Leftrightarrow frac{left| 3a-b-a-3b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2Leftrightarrow {{left( a-2b right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}Leftrightarrow 3{{b}^{2}}-4ab=0Leftrightarrow left[ begin{matrix} b=0 \ 3b=4a \ end{matrix} right.$

• Nếu $b=0$, chọn $a=1$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $x=1$.
• Nếu $3b=4a$, chọn $a=3,,,b=4$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $3x+4y-15=0$

Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là $x=1$ và $3x+4y-15=0$

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến $Delta $ của đường tròn $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y-1=0$ trong trường

a) Đường thẳng $Delta $ vuông góc với đường thẳng $Delta ‘:2x+3y+4=0$

b) Đường thẳng $Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$

Xem Thêm : 7 tả cảnh bình minh trên biển nha trang hay nhất, đừng bỏ qua

Lời giải

a) Đường tròn (C) có tâm $Ileft( 2;-2 right)$, bán kính $R=3$

Vì $Delta bot Delta ‘$ nên $Delta $ nhận $overrightarrow{u}left( -3;2 right)$ làm VTPT do đó phương trình có dạng $-3x+2y+c=0$

Đường thẳng $Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi

$dleft( I;Delta right)=3Leftrightarrow frac{left| -10+c right|}{sqrt{13}}=3Leftrightarrow c=10pm 3sqrt{13}$

Vậy có hai tiếp tuyến là $Delta :-3x+2y+10pm 3sqrt{13}=0$

b) Giả sử phương trình đường thẳng $Delta :ax+by+c=0,,,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 0$

Đường thẳng $Delta $ là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi

$dleft( I;Delta right)=3Leftrightarrow frac{left| 2a-2b+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=3Leftrightarrow {{left( 2a-2b+c right)}^{2}}=9left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)(*)$

Đường thẳng $Delta $ hợp với trục hoành một góc ${{45}^{0}}$ suy ra

$cos left( Delta ;Ox right)=frac{left| b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}Rightarrow cos {{45}^{0}}=frac{left| b right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}Leftrightarrow a=b$ hoặc $a=-b$

TH1: Nếu $a=b$ thay vào (*) ta có $18{{a}^{2}}={{c}^{2}}Leftrightarrow pm c=3sqrt{2}a$, chọn $a=b=1Rightarrow ,,c=pm 3sqrt{2}$ suy ra $Delta :x+ypm 3sqrt{2}=0$

Xem Thêm : Tổng hợp 6 vietnamobile.com.vn tra cứu thông tin thuê bao hay nhất

TH2: Nếu $a=-b$ thay vào (*) ta có $18{{a}^{2}}={{left( 4a+c right)}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{matrix} c=left( 3sqrt{2}-4 right)a \ c=-left( 3sqrt{2}+4 right)a \ end{matrix} right.$

Với $c=left( 3sqrt{2}-4 right)a$, chọn $a=1,,,b=-1,,,c=left( 3sqrt{2}-4 right)Rightarrow Delta :x-y+3sqrt{2}-4=0$

Với $c=-left( 3sqrt{2}+4 right)a$, chọn $a=1,,,b=-1,,,c=-left( 3sqrt{2}+4 right)Rightarrow Delta :x-y-3sqrt{2}-4=0$

Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là ${{Delta }_{1,2}}:x+ypm 3sqrt{2}=0,,,{{Delta }_{3}}:x-y+3sqrt{2}-4=0$ và ${{Delta }_{4}}:x-y-3sqrt{2}-4=0$

Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

$left( {{C}_{1}} right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y-5=0$ và $left( {{C}_{2}} right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+8y+16=0$

Xem Thêm : 7 tả cảnh bình minh trên biển nha trang hay nhất, đừng bỏ qua

Lời giải

Đường tròn $left( {{C}_{1}} right)$ có tâm ${{I}_{1}}left( 0;2 right)$ bán kính ${{R}_{1}}=3$

Đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ có tâm ${{I}_{2}}left( 3;-4 right)$ bán kính ${{R}_{2}}=3$

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình $Delta :ax+by+c=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 0$

$Delta $ là tiếp tuyến chung của $left( {{C}_{1}} right)$ và $left( {{C}_{2}} right)$$Leftrightarrow left{ begin{align} & d({{I}_{1}},Delta )=3 \ & d({{I}_{2}},Delta )=3 \ end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align} & left| 2b+c right|=3sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}left( * right) \ & left| 3a-4b+c right|=3sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \ end{align} right.$

Suy ra $left| 2b+c right|=left| 3a-4b+c right|Leftrightarrow left[ begin{align} & a=2b \ & c=frac{-3a+2b}{2} \ end{align} right.$

TH1: Nếu $a=2b$chọn $a=2,,,b=1$ thay vào (*) ta được $c=-2pm 3sqrt{5}$ nên ta có 2 tiếp tuyến là $2x+y-2pm 3sqrt{5}=0$

TH2: Nếu $c=frac{-3a+2b}{2}$ thay vào (*) ta được $left| 2b-a right|=2sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}Leftrightarrow $$a=0$ hoặc $3a+4b=0$

• Với $a=0Rightarrow c=b$, chọn $b=c=1$ ta được $Delta :y+1=0$
• Với $3a+4b=0Rightarrow c=3b$, chọn $a=4,,,b=-3,,,c=-9$ ta được $Delta :4x-3y-9=0$

Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là : $2x+y-2pm 3sqrt{5}=0,,y+1=0,,,4x-3y-9=0$

3. Bài tập luyện tập

Bài 3.106: Cho đường tròn $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y-17=0$. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Điểm tiếp xúc là $Mleft( 2;1 right)$

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng $Delta :3x-4y-2008=0$

d) d vuông góc với đường thẳng $Delta ‘:2x-3y-4=0$

Bài 3.107: Cho đường tròn $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ và điểm $Aleft( 2;5 right)$.Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.

Bài 3.108: Cho $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho $Delta ABC$ có diện tích bằng 4.

Bài 3.109: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường tròn: $left( {{C}_{1}} right){{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-2y+7=0$, $left( {{C}_{2}} right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-7y+12=0$ và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ấy.

Bài 3.110 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-y+1=0$ và đường tròn $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0$. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho $widehat{AMB}={{60}^{0}}$.

Bài 3.111 Cho $left( {{C}_{m}} right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2mx-2left( m-1 right)y+1=0$

a) Tìm m để $left( {{C}_{m}} right)$ là đường tròn

b) Tìm m để $left( {{C}_{m}} right)$ tiếp xúc với đường thẳng $Delta :x+y+1+2sqrt{2}=0$

c) Tìm m để từ điểm $Aleft( 7;0 right)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $left( {{C}_{m}} right)$ vuông góc với nhau.

d) Tìm m để từ điểm $Aleft( 7;0 right)$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với $left( {{C}_{m}} right)$ và tạo với nhau góc 600.

Bài 3.112 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn:

$({{C}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x=0,,,({{C}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-2y-20=0$

a) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của $({{C}_{1}}),,,({{C}_{2}})$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:x+6y-6=0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn $({{C}_{1}}),,,({{C}_{2}})$ .

Bài 3.113 Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn (C) và đường thẳng d lần lượt có phương trình: (C): ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+21=0$, $d:x+y-1=0$. Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d.

Bài 3.114 Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn $left( C right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-6y+6=0$ và điểm $Mleft( -3;1 right)$. Gọi ${{T}_{1}},,,{{T}_{2}}$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng ${{T}_{1}},,{{T}_{2}}$.

Bài 3.115 Cho đường tròn (C) có phương trình: ${{left( x-3 right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$. Tìm trên $Oy$ điểm M mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến đó tạo thành góc ${{60}^{0}}$

Xem Thêm : 7 tả cảnh bình minh trên biển nha trang hay nhất, đừng bỏ qua

Lời giải

Bài 3.106:

a) $4x+3y-11=0$

b) $x=2$ và $39x-80y+402=0$

c) $3x-4y+23=0$ và $3x-4y-27=0$.

d) $3x+2y+10pm 5sqrt{13}=0$

Bài 3.107: Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: $x=2$ và $y=5$. Từ đó ta tìm được $Mleft( 2;2 right),,,Nleft( -1;5 right)$ suy ra $MN=sqrt{{{left( -1-2 right)}^{2}}+{{(5-2)}^{2}}}=3sqrt{2}$

Bài 3.108: (C) có tâm $Ileft( 1;-1 right)$ và bán kính $R=sqrt{5}$

Giả sử $Aleft( a;0 right),,,Bleft( 0;b right),,,a>0,,,b>0$

Phương trình đường thẳng AB có dạng $AB:frac{x}{a}+frac{y}{b}=1$ hay $bx+ay-ab=0$. Ta có ${{S}_{AOB}}=4Leftrightarrow ab=8$, AB tiếp xúc với (C) $Rightarrow dleft( I;AB right)=sqrt{5}Leftrightarrow b-a=-2$

Suy ra $a=4,,,b=2$

Vậy phương trình $AB:x+2y-4=0$

Bài 3.109: Toạ độ giao điểm của hai đường tròn là $Aleft( 1;2 right),,,Bleft( 3;4 right)$

Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là $3x-y+3=0,,,x+3y-17=0$

Bài 3.110: Đường tròn có tâm $Ileft( -1;2 right)$ và có bán kính $R=sqrt{5}$.

$widehat{AMB}={{60}^{0}}Rightarrow widehat{AMI}={{30}^{0}}Rightarrow MI=2AI=2sqrt{5}$

Từ đó có hai điểm M thoả mãn ${{M}_{1}}left( -3;-2 right),,,{{M}_{2}}left( 3;4 right)$

Bài 3.111:

a) $left( {{C}_{m}} right)$ là đường tròn $left[ begin{align} & m>1 \ & m<0 \ end{align} right.$(*), có tâm $Ileft( -m;m-1 right)$ và bán kính $R=sqrt{2{{m}^{2}}-2m}$

b) $left( {{C}_{m}} right)$ tiếp xúc với $Delta Leftrightarrow dleft( I;Delta right)=RLeftrightarrow left[ begin{align} & m=2 \ & m=-1 \ end{align} right.$(thỏa mãn (*))

c) Gọi hai tiếp điểm là $H,,K$ từ giả thiết suy ra $AHIK$ là hình vuông $Rightarrow AI=sqrt{2}RRightarrow m=4pm sqrt{41}$

d)

TH1: Nếu $widehat{HAK}={{60}^{0}}Rightarrow widehat{IAK}={{30}^{0}}Rightarrow IA=2RLeftrightarrow left[ begin{align} & m=5 \ & m=frac{-5}{3} \ end{align} right.$

TH2: $widehat{HAK}={{120}^{0}}Rightarrow widehat{IAK}={{60}^{0}}Rightarrow IA=frac{2R}{sqrt{3}}Leftrightarrow left[ begin{align} & m=25 \ & m=-3 \ end{align} right.$

Bài 3.112: ĐS: a) ${{(x-12)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=125$

b) $x+7y-5pm 25sqrt{2}=0$

Bài 3.113: ĐS: $Aleft( 2;-1 right),,,Bleft( 2;-5 right),,,Cleft( 6;-5 right),,,Dleft( 6;-1 right)$ hoặc $Aleft( 6;-5 right),,,Bleft( 6;-1 right),,,Cleft( 2;-1 right),,,Dleft( 2;-5 right)$

Bài 3.114:

C1: (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = 2.

Giả sử ${{T}_{1}}left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),,,,{{T}_{2}}left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right),$là các tiếp điểm của các tiếp tuyến $M{{T}_{1}}$ và $M{{T}_{2}}$. $M{{T}_{1}}:left( x-1 right)left( {{x}_{1}}-1 right)+left( y-3 right)left( {{y}_{1}}-3 right)=4$, $M{{T}_{2}}:left( x-1 right)left( {{x}_{2}}-1 right)+left( y-3 right)left( {{y}_{2}}-3 right)=4$

Do hai tiếp tuyến đều đi qua điểm $Mleft( -3;1 right)Rightarrow $$left{ begin{align} & 4(1-{{x}_{1}})+2(3-{{y}_{1}})=4 \ & 4(1-{{x}_{2}})+2(3-{{y}_{2}})=4 \ end{align} right.$

Suy ra ${{T}_{1}},,{{T}_{2}}:2x+y-3=0$

C2: Dựa vào điểm $Mleft( -3;1 right)$ và đường tròn có tâm I( 1; 3) và bán kính R = 2 nên thấy ngay đường thẳng y = 1 là một tiếp tuyến của đường tròn qua M suy ra tiếp điểm ${{T}_{2}}left( 1;1 right)$. Tiếp điểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nên nằm trên đường thẳng đi qua T2 và vuông góc với MI do đó ${{T}_{1}},,{{T}_{2}}:2x+y-3=0$

Bài 3.115: (C) có tâm $Ileft( 3;0 right)$, bán kính $R=2$. Gọi hai tiếp điểm là $A,,B$

+) TH 1. $widehat{AMB}={{60}^{0}}Rightarrow widehat{IMN}={{30}^{0}}Rightarrow IM=4$

+) TH 2. $widehat{AMB}={{120}^{0}}Rightarrow widehat{IMN}={{60}^{0}}Rightarrow IM=frac{4}{sqrt{3}}$