Bài tập Toán lớp 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán

Bài tập Toán lớp 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán bao gồm lý thuyết, các dạng bài tập vận dụng và hàng loạt bài tập về nhà. Nhờ đó, các em sẽ ôn luyện, nắm thật chắc kiến thức dạng Toán liên quan đến lũy thừa, số mũ.

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

aⁿ = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

4. Lũy thừa của lũy thừa

(a^m)ⁿ = a^m.n

Ví dụ: (3²)⁴ = 3^2.4 = 3⁸

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

a^m . b^m = (a.b)^m

ví dụ : 3³ . 4³ = (3.4)³ = 12³

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

a^m : b^m = (a : b)^m

ví dụ : 8⁴ : 4⁴ = (8 : 4)⁴ = 2⁴

7. Một vài quy ước

1ⁿ = 1 ví dụ : 1²⁰¹⁷ = 1

a⁰ = 1 ví dụ : 2017⁰ = 1

Bài tập vận dụng có đáp án

Bài 1: So sánh:

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

Giải:

a) 5³⁶ = 5¹² (5³)¹² = 125¹²; 11²⁴ = 11^2.12 = (11²)¹² = 121¹²

Mà 125¹² > 121¹² => 5³⁶ > 121¹²

b) Tương tự

c) Ta có: 5²³ = 5.5²² < 6.5²²

d) Tương tự.

e) 21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 7.3¹⁵.7¹⁵ > 3¹⁵.7¹⁵ = 21¹⁵

=> 27⁵.49⁸ > 21¹⁵.

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴.(72 – 1) = 72⁴⁴.71

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72⁴³.(72 – 1) = 72⁴³.71

Mà 72⁴³.71 < 72⁴⁴.71 nên suy ra: 72⁴⁴ – 72⁴³ < 72⁴⁵ – 72⁴⁴

Bài 2: Tính giá trị biểu thức (Thu gọn các tổng sau):

a) A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

Giải:

a) Ta có: A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

2A = 2.( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

A = 2²⁰¹⁸ – 2

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

3².B = 3².( 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

9B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰

9B – B = (3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰) – (1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

8B = 3²⁰²⁰ – 1

B = (3²⁰²⁰ – 1) : 8.

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

5C = 5.( – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

5C = -5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹

5C + C = (-5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹) + (- 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

6C = 5²⁰¹⁹ – 5

C = (5²⁰¹⁹ – 5) : 6

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) 3⁷.27⁵.81³

b) 100⁶.1000⁵.10000³

c) 36⁵ : 18⁵

d) 24.5⁵ + 5².5³

e) 125⁴ : 5⁸

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²)

Giải:

a) 3⁷.27⁵.81³ = 3⁷.(3³)⁵.(3⁴)³ = 3⁷.3¹⁵.3¹² = 3^7+15+12 = 3³⁴.

b) Tương tự.

c) 36⁵ : 18⁵ = (36 : 18)⁵ = 2⁵ = 32.

d) 5⁵ + 5².5³ = 24.5⁵ + 5⁵ = 5⁵.(24 + 1) = 5⁵.25 = 5⁵.5² = 5⁷.

e) 125⁴ : 5⁸ = (5³)⁴ : 5⁸ = 5¹² : 5⁸ = 5^12-8 = 5⁴ = 625.

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : [3⁵(1 + 3²⁷)]

= 3⁴.3³.(1 + 3²⁷) : [3⁵.(1 + 3²⁷)]

= 3⁷ : 3⁵ = 3^7-5 = 3² = 9.

Hoặc: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : (3⁵ + 3³²)

= 3².(3³.3² + 3³⁰.3²) : (3⁵ + 3³²)

= 3²(3⁵ + 3³²) : (3⁵ + 3³²)

= 3² = 9

Bài 4: Tìm số tự nhiên x biết rằng

a) 1 + 3 + 5 + … + x = 1600 (x là số tự nhiên lẻ).

Tự giải.

b) 2^x + 2^{x + 3} = 144

Giải:

Ta có: 2^x + 2^{x + 3} = 144

=> 2^x + 2^x.2³ = 144

=> 2^x.(1 + 8) = 144

=> 2^x.9 = 144

=> 2^x = 144 : 9 = 16 = 2⁴

=> x = 4.

c) (x – 5)²⁰¹⁶ = (x – 5)²⁰¹⁸

=> (x – 5)²⁰¹⁸ – (x – 5)²⁰¹⁶ = 0

=> (x – 5)²⁰¹⁶.[(x – 5)² – 1] = 0

=> x – 5 = 0 hoặc x – 5 = 1 hoặc x – 5 = -1

=> x = 5 hoặc x = 6 hoặc x = 4 (Thỏa mãn x ∈ N).

Đ/s: x ∈ {4; 5; 6}.

d) (2x + 1)³ = 9.81

Tự trình bày.

Bài 5: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 5^{2x – 1} thỏa mãn điều kiện:

100 < 5^{2x – 1} < 5⁶.

Giải:

Ta có: 100 < 5^{2x – 1} < 5⁶

=> 5² < 100 < 5^2x-1 < 5⁶

=> 2 < 2x – 1 < 6

=> 2 + 1 < 2x < 6 + 1

=> 3 < 2x < 7

Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.

Bài tập về nhà

Bài tập 1: Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.

a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4

c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8

b) 10 . 10 . 10 . 100

d) x . x . x . x

Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau.

a) a⁴.a⁶

b) (a⁵)⁷

c) (a³)⁴ . a⁹

d) (2³)⁵.(2³)⁴

Bài toán 3: Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁸. 2²⁰; 9¹² . 27⁵ . 81⁴ ; 64³ . 4⁵ . 16²

b) 25²⁰. 125⁴; x⁷ . x⁴ . x ³ ; 3⁶ . 4⁶

c) 8⁴. 2³. 16² ; 2³ . 2² . 8³ ; y . y⁷

Bài toán 4: Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 2², 2³, 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , 2⁷ , 2⁸ , 2⁹ , 2¹⁰.

b) 3², 3³, 3⁴ , 3⁵.

c) 4², 4³, 4⁴.

d) 5², 5³, 5⁴.

Bài toán 5: Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁹: 4⁴; 17⁸ : 17⁵ ; 2¹⁰ : 8² ; 18¹⁰ : 3¹⁰ ; 27⁵ : 81³

b) 10⁶: 100 ; 5⁹: 25³ ; 4¹⁰ : 64³ ; 2²⁵ : 32⁴ : 18⁴ : 9⁴

Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phương.

a) 1³+ 2³

b) 1³ + 2³ + 3³

c) 1³ + 2³ + 3³ + 4³

Bài toán 7: Tìm x N, biết.

a) 3^x. 3 = 243

b) 2^x. 16² = 1024

c) 64.4^x = 16⁸

d) 2^x = 16

Bài toán 8: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a) (2¹⁷+ 17²).(9¹⁵– 3¹⁵).(2⁴ – 4²)

b) (8²⁰¹⁷– 8²⁰¹⁵) : (8²¹⁰⁴.8)

c) (1³+ 2³+ 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

d) (2⁸+ 8³) : (2⁵.2³)

Bài toán 9: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵: 25³

b) 27⁶: 9³

c) 4²⁰: 2¹⁵

d) 24ⁿ: 2²ⁿ

e) 64⁴. 16⁵: 4²⁰

Bài toán 9: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵ : 25³

b) 27⁶ : 9³

c) 4²⁰ : 2¹⁵

d) 24ⁿ : 2²ⁿ

e) 64⁴ . 16⁵ : 4²⁰

g) 32⁴ : 8⁶

Bài toán 10 : Tìm x, biết.

a) 2^x.4 = 128

b) (2x + 1)³ = 125

c) 2x – 2⁶ = 6

d) 64.4^x = 45

e) 27.3^x = 243

g) 49.7^x = 2401

h) 3^x = 81

k) 3⁴.3^x = 3⁷

n) 3^x + 25 = 26.2² + 2.3⁰

Bài toán 11: So sánh

a) 2⁶ và 8² ; 5³ và 3⁵ ; 3² và 2³ ; 2⁶ và 6²

b) A = 2009.2011 và B = 20102

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

d) 2017⁰ và 1²⁰¹⁷

Bài toán 12: Cho A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh : A = 2²⁰⁰⁸ – 1

Bài toán 13: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷

a) Tính 3A

b) Chứng minh A = (3⁸ – 1) : 2

Bài toán 14: Cho B = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰⁰⁶

a) Tính 3B

b) Chứng minh: A = (3²⁰⁰⁷ – 1) : 2

Bài toán 15: Cho C = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁵ + 4⁶

a) Tính 4C

b) Chứng minh: A = (47 – 1) : 3

Bài Toàn 16: Tính tổng

a) S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) S = 3 + 3² + 3³ + ….+ 3²⁰¹⁷

c) S = 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷

d) S = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷