Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu và song song với mặt phẳng

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí!

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (I;R)

Phương pháp: do (P)//(Q) nên ta có vtpt [TEX]n_P[/TEX] của (P) chính là vtpt [TEX]n_Q[/TEX] của (Q)
Lúc này, ptmp (P) có dạng [TEX]ax+by+cz+d=0[/TEX] với a,b,c đã biết do đã biết tọa độ vtpt [TEX]n_P[/TEX]
Vậy sử dụng nốt điều kiện tiếp xúc: [TEX]d(I;(P))=R[/TEX] ta sẽ tìm được d.

Ví dụ: Viết ptmp (P) song song với (Q): x-2y+z+2=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : [TEX](x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=4[/TEX]

Lời giải: ta có vtpt [TEX]n_P=n_Q(1;-2;1)[/TEX]
=> ptmp (P) có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]
Từ pt của (S) ta tìm được tâm I(1;2;1) và bán kính R = 2
Để (P) tiếp xúc (S): [tex]d(I;(P))=R<=>frac{|1.1+2.(-2)+1.1+D|}{sqrt{1^2+2^2+1^2}}=2<=>frac{|D-2|}{sqrt{6}}=2<=>D=2sqrt{6}+2;D=-2sqrt{6}+2[/tex] Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn bài toán là :
(P): [TEX]x-2y+z+2sqrt{6}+2=0[/TEX]
hoặc (P): [TEX]x-2y+z-2sqrt{6}+2=0[/TEX][TEX][/TEX]

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (I;R)

Phương pháp: tương tự dạng 1, do d vuông góc (P) nên lúc này ta có vtpt [TEX]n_P =u_d[/TEX]của d. Và sử dụng tiếp điều kiện tiếp xúc ta sẽ tìm được hệ số d.

Bạn Đang Xem: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu và song song với mặt phẳng

Ví dụ: Viết ptmp (P) vuông góc với d:[tex]frac{x-2}{2}=frac{y+3}{2}=frac{1-z}{1}[/tex] và tiếp xúc với mặt cầu (S): [TEX](x+1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=4[/TEX]
Lời giải:
Mặt cầu: (S) có tâm I(-1;3;1) và R = 2 Do (P) vuông góc với d nên (P) có vtpt [TEX]n_P=(2;2;-1)[/TEX] (là (2;2;-1) chứ không phải (2;2;1) )
Vậy ptmp (P) có dạng : [TEX]2x+2y-z+d=0[/TEX]
Điều kiện tiếp xúc: [tex]d(I;(P))=R<=>frac{|2.(-1)+2.3+(-1).1+d|}{sqrt{2^2+2^2+1^2}}=2<=>|d+3|=6<=>d=3;d=-9[/tex]
Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn bài toán là :
[TEX]2x+2y-z+3=0[/TEX]
hoặc [TEX]2x+2y-z-9=0[/TEX]

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với mp (Q), song song với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (I;R) ( d không vuông góc (Q) )

Phương pháp: Do (P) vuông góc với mp (Q), song song với đường thẳng d nên ta có cặp vecto chỉ phương

của d là : [TEX]n_Q[/TEX] và [TEX]u_d[/TEX]
Vậy vtpt [TEX]n_P=[n_Q;u_d][/TEX] là tích có hướng của 2 vecto [TEX]n_Q;u_d[/TEX].
Khi đã có vtpt thì chỉ cần dùng điều kiện tiếp xúc để tìm nốt hệ số d.

Ví dụ: Viết ptmp (P) vuông góc với (Q):[TEX]x+y+z-3=0[/TEX], song song với d: [tex]frac{x-1}{2}=frac{y-2}{3}=frac{z-3}{4}[/tex] và tiếp xúc với (S): [TEX](x-1)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=9[/TEX]

Lời giải : (S) có tâm I(1;3;3) và R=3
Ta có vtpt [TEX]n_P=[n_Q; u_d][/TEX], với [TEX]n_Q(1;1;1), u_d(2;3;4)[/TEX]
=> [TEX]n_P(1;-2;1)[/TEX]=> ptmp (P) có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]
Điều kiện tiếp xúc: [tex]d(I;(P))=R<=>frac{|1.1+(-2).3+1.3+d|}{sqrt{1^2+2^2+1^2}}=3<=>|d-2|=3sqrt{6}<=>d=3sqrt{6}+2; d=-3sqrt{6}+2[/tex]
Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là : (P): [TEX]x-2y+z+3sqrt{6}+2=0[/TEX]
hoặc (P):[TEX]x-2y+z-3sqrt{6}+2=0[/TEX]

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d và d ‘ , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (I;R) (d không song song d’)

Phương pháp: Do (P) song song với đường thẳng d và d ‘ nên ta có : [TEX]n_P=[n_d;n_d’][/TEX]

Sử dụng điều kiện tiếp xúc sẽ tìm được hệ số d.

Ví dụ: Viết ptmp (P) song song với các đường thẳng d: [tex]frac{x}{1}=frac{y}{2}=frac{z-2}{3}[/tex] ,

d ‘ : [TEX]frac{x-1}{2}=frac{y}{2}=frac{z-1}{2}[/TEX] và tiếp xúc mặt cầu (S): [TEX](x-1)^2+(y+3)^2+(z-3)^2=9[/TEX]

Lời giải: Ta có [TEX]n_P=[u_d;u_d’]=(-2;4;-2)[/TEX]. Vậy pt (P) có dạng: [TEX]x-2y+z+d=0[/TEX]

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;3), bán kính R=3.
Điều kiện tiếp xúc: [tex]d(I;(P))=3<=>frac{|1.1+(-2).3+1.3+d|}{sqrt{1^2+1^2+2^2}}=3<=>|d-2|=3sqrt{6}<=>d=3sqrt{6}+2; d=-3sqrt{6}+2[/tex]
Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là : [TEX]x-2y+z+3sqrt{6}+2=0[/TEX]

hoặc [TEX]x-2y+z-3sqrt{6}+2=0[/TEX]