SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH Năm học: 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/03/2012

Câu 1: (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2. Cho phương trình x⁴ – 2mx² + 2m – 1 = 0 (1)

a. Tìm m để (1) có 4 nghiệm x₁, x₂, x₃, x₄ thỏa mãn:

b. Giải phương trình (1) với m vừa tìm được ở a.

Câu 2: (4,0 điểm)

Cho (P): y = x²; (d): y = x + m

Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: tam giác OAB là tam giác vuông

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a + b + c + d =

2. Chứng minh rằng: a² + b² + c² + d² ≥ 1

2. Cho m # -1 và a³ – 3a² + 3a(m + 1) – (m + 1)² = 0.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của a.

Câu 4: (3,0 điểm)

Chứng minh rằng:

Câu 5: (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các phân giác trong các góc nhọn BAC, ACB, CBA theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm M, P, N. Đặt a = BC, b = CA, c = AB; S_ΔMNP, S_ΔABC theo thứ tự là diện tích của tam giác MNP và tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng:

b. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của .

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – CẤP: THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/11/2012

Bài 1 (5,0 điểm):

Tìm tất cả các cặp số thực x và y thỏa mãn bất đẳng thức sau: x² + y² + 2x – 2y + 2 ≤ 0

Bài 2 (4,0 điểm):

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài 3 (5,0 điểm):

Cho hình thang ABCD (AD // BC). Hai đường phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại điểm E, hai đường phân giác trong của góc C và góc D cắt nhau tại điểm F.

a) Chứng minh rằng: EF // AD.

b) Tính độ dài đoạn EF thông qua các cạnh của hình thang ABCD.

Bài 4 (3,0 điểm):

Cho số thực , với n nguyên. Chứng minh rằng nếu A là số nguyên thì A là một số chính phương (bằng bình phương của một số nguyên).

Bài 5 (3,0 điểm):

Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 cho 151 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng có ít nhất 7 điểm đã cho nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 1/7.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – CẤP: THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/11/2012

Bài 1 (4,0 điểm).

Giải phương trình:

Bài 2 (3,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 3sinxcosx – sin³x – cos³x

Bài 3 (3,0 điểm).

Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho A/2 là một số chính phương và A/3 là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 4 (5,0 điểm).

Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không phải là đường kính) và điểm A di động. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, trên cung BC không chứa điểm A lấy điểm M bất kỳ. Gọi D và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.

b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tam giác MDE có diện tích lớn nhất.

Bài 5 (3,0 điểm).

Cho a₁, a₂,…, a_n là n số thực thoả mãn điều kiện a₁² + a₂² + … + a_n² = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a₁a₂ + a₂a₃ + … + a_n-1a_n

Bài 6 (2,0 điểm).

Cho 4 xã có trung tâm của mỗi xã nằm ở vị trí là đỉnh của một hình vuông có cạnh bằng a. Hãy xây dựng một mạng lưới giao thông có độ dài ngắn nhất nối 4 trung tâm của các xã đó.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (6 điểm)

1. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y² – A = x(A + x)(A + x²)

2. Gọi d₁, d₂ là các đường thẳng lần lượt có phương trình: d₁: y = 2x + 3m + 2 và d₂: y = (m² + m)x – 4

a) Tìm m để hai đường thẳng song song.

b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (2x – y + 3m + 2)² + [(m2 + m)x – y – 4]²

Bài 2. (6 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x⁴ + 3x³ – (2m – 1)x² – (3m + 1)x + m2 + m = 0

Bài 3. (1 điểm)

Giải hệ phương trình:

Bài 4. (6 điểm)

Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’ (khác F). Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang.

3. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

Bài 5. (1 điểm)

Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho hàm số với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi m # 0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d: y = 3x – 3m tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích Δ OAB bằng 2 lần diện tích Δ OCD.

2. Cho hàm số có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2.

Câu 2: (4 điểm)

1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 15x.5^x = 5^x+1 + 27x + 23

2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực:

Câu 3: (6 điểm)

1. Cho tứ diện SABC có AB = AC = a, BC = a/2, SA = a√3 (a > 0). Biết góc SAB = 30^o và góc SAC = 30^o. Tính thể tích khối tứ diện theo a.

2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn 1/8.

Câu 4: (4 điểm)

Tính các tích phân:

Câu 5: (2 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Download tài liệu để xem thêm chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)

Cho P là điểm nằm trên hyperbol xy = 4 và Q là điểm nằm trên elip x² + 4y² = 4. Chứng minh độ dài đoạn PQ lớn hơn 1.

Bài 2: (4 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức: với mọi số thực a, b, c.

Bài 3: (4 điểm)

Cho dãy số {x_n}₁^∞ được xác định như sau:

Tìm công thức tổng quát của dãy.

Bài 4: (4 điểm)

Cho tập hợp A có n phần tử, n > 4 Tìm n biết rằng số tập con của A có số phần tử là lẻ bằng 2048n.

Bài 5: (4 điểm)

Tìm hàm số f: N* -> N* (N* là tập các số tự nhiên dương) thỏa mãn: f(n) + 2f(f(n)) = 3n + 5 với mọi n thuộc N*.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.