Notice: Trying to get property 'end' of non-object in /home/quatangtiny/htdocs/quatangtiny.com/wp-content/themes/jnews/class/ContentTag.php on line 36
Notice: Trying to get property 'end' of non-object in /home/quatangtiny/htdocs/quatangtiny.com/wp-content/themes/jnews/class/ContentTag.php on line 36
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)<g(x) (f(x) < g(x)) (1)
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X.
Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) < g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “o” để ch? sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương đó.
Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.
Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tựơng đương.
P(x) < Q(X) o P(x) + f(x) < Q(X) + f(x)
Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) P(x).f(x) 0, Vx P(x) Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vx
Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) P2(x) 0,Q(x)>0, Vx
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tìm các giá trị X thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau
. 1 , 1 a) – < 1 – —— ;
X X +1
c) 2|x|-1+^x-1 < 2*
2x
2 . ? … „
X -4 X -4x + 3
d) 2Ự1 — X > 3x + —— .
x + 4
tfuii
a) Điều kiện: ] X e R {0; -II
X * -1
b) Điều kiện:
xz – 4 * 0 X2 – 4x + 3 * 0
X * ±2
X * 1 o X e K (1; 3; 2; -2} X * 3
Điều kiện: X * -1 X e (-1Ị
Điều kiện: p X-0JX_1xe (-ao; 1]{—4|
IX + 4 * 0 X * -4
b) ựl + 2(x-3)2 +V5-4X + X2 <1
Chứng minh các bất phương trinh sau vô nghiệm a) X2 + ựx + 8 < -3 ;
Vl + X2 – Ỉ7 + X2 > 1.
éjiải
Vì X2 > 0 và yJx + 8 > 0, Vx > -8 nên X2 + Vx + 8 > 0, Vx > -8 Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Vì ựl + 2(x – 3)2 > 1 và Võ – 4x + X2 = ^1 + (x – 2)2 > 1
với mọi X nên yỊl + 2(x – 3)2 + Võ – 4x + X2 > 2, Vx e K Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Vì Vl + X2 < Vĩ + X2 nên Vl + X2 – Vĩ + X2 < 0. Vx e R Bâ’t phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) -4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0; b) 2×2 + 5 < 2x – 1 và 2×2 – 2x + 6 < 0;
c)x+1>0vàx+1+ 1 > —; d) Vx-1 > X và (2x + 1)v/x — 1 > x(2x +1).
x2 + 1 X +1
ốỹúii
a) Nhân hai vế bất phương trình thứ nhát với -1 và đổi chiều ta được bâ’t phương trình thứ hai (tương đương).
b) Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương.
1
c) Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức
X2 +1
không làm thay
đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương, d) Hai bâ’t phương trình có điều kiện chung là X > 1. Trên tập các giá trị
này của X thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương).
4. Giải các bất phương trinh sau
3x + 1 _ x-2 1-2x .
2 3 < 4 ‘
a)
b) (2x – 1 )(x + 3) – 3x + 1 < (X – 1)(x + 3) + X2 – 5.
a)
3x +1 X-2 1-2X 3(3x +1) – 2(x – 2) 1 – 2x n
—- — -2 ’ ù L _ 2— < 0
2 3 4 6 4
7x + 7 2x – 1
o < 0 <2 14x + 14 + 6x – 3 < 0 o 20x < -11
11 c _ f 11 X < – ^. Vậy s = -o°;-êê
20 V 20
b) (2x – l)(x + 3) – 3x + 1< (x – l)(x + 3) + X2 – 5
2×2 + 5x-3-3x + 1 1 < -5 vô nghiệm, s = 0.
5. Giải các hệ bất phương trình: a)
a)
8x + 3
< 2x + 5
6x + < 4x + 7
7
8x + 3
< 2x + 5;
tyZd’z
2x < 7 -1
7
8x + 3 < 4x + 10
22
b)
„ 44
2x < —
7
4x < 7
2 3
3X-14
15x-2>2x +
2(x -4) <
X < ỳ . Vậy s = -oo;
b)
15x – 2 > 2x +
3
13x>
2(x – 4)
3x -14
4x – 16 < 3x -14
X > — 39
X < 2
J- < X < 2. Vậy: s = |-J-;2 I. 39 139 1
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Giải các bất phương trình sau: a) 2(x – 1) + X > ^7-3 + 2;
. x+2x-2x-1_x c) —— + —— >3 + 7 2 3 4 2
Giải và biện luận các phương trình: a) m2x – 1 > X + m;
b) (X + Tã )2 > (x – 72 )2 + 2;
(m-1)x 1-x x-1
b) — > -—- – ——-
2(m + 2)> 2 m + 2
3x-1 3(x-2) 5-3X
4x-1 x-1 4-5x
18 >_Ĩ2 9—
X + 4m 2x-1
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ phương trình:
ĩvp iể: X = 4.
Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
T)áf} iế: m > – 2.
20/10/2021 1,019
C. S=(1;2)
Đáp án chính xác
Chọn C
Ta có : 12−x2+3x<14⇔12−x2+3x<122⇔−x2+3x>2⇔x2−3x+2<0⇔1<x<2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=(1;2).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
Xem đáp án » 20/10/2021 1,454
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Xem đáp án » 20/10/2021 1,154
Cho hàm số f(x), đồ thị hàm số y=f'(x) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số gx=−f2x−1+2x trên đoạn [0;2] bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 1,126
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Xem đáp án » 20/10/2021 808
Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết rằng đường tròn đáy ngoại tiếp một tam giác có kích thước là 50cm, 70cm, 80cm(các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích không đáng kể. Lấy π=3,14). Diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần nhất với số liệu nào sau đây?
Xem đáp án » 20/10/2021 709
Cho hình trụ có độ dài đường sinh bằng 6, diện tích xung quanh bằng 48π. Bán kính hình tròn đáy của hình trụ đó bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 684
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn log32x2+y2=log7x3+2y3=logz. Có bao giá trị nguyên của z để có đúng hai cặp (x;y) thỏa mãn đẳng thức trên
Xem đáp án » 20/10/2021 474
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:
Xem đáp án » 20/10/2021 403
Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa, lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán
Xem đáp án » 20/10/2021 367
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA=2a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
Xem đáp án » 20/10/2021 315
Tính đạo hàm của hàm số fx=e2x−3.
Xem đáp án » 20/10/2021 293
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
Xem đáp án » 20/10/2021 285
Cho hàm số y=x4−x3+3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án » 20/10/2021 249
Hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên ℝ?
Xem đáp án » 20/10/2021 165
Cho hàm số fx=2x+1x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Xem đáp án » 20/10/2021 145
