Ôn tập Toán 9
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn là một trong những dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán 9.
Chính vì vậy trong bài viết dưới đây Download.vn giới thiệu đến các bạn lớp 9 cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn và các bài tập kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài tập Toán.
Xem Tắt
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
II. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
a. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
a, với x > 0, x ≠ 1
b,
với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra
(thỏa mãn)
Vậy max
Bài 5: Cho biểu thức
với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
III. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức:
. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
————————————————-
24.851 lượt xem
Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Tài liệu liên quan:
1. Cách tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nguyên
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng
trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.
Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên
thì nguyên hay
nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k.
Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x
Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán
2. Ví dụ tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định
Để biểu thức D nhận giá trị nguyên
Do
Vậy x = 16 thì D nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Tìm x ∈
để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
Ta có:
Để E nhận giá trị nguyên
Mà
Vậy x = 0 thì E nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 9.
b) Ta có:
A có giá trị nguyên nghĩa là
có giá trị nguyên
Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc
là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)
Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ
Do đó là số nguyên
=>
là ước tự nhiên của 5
Ta có bảng giá trị như sau:
1
-1
5
-5
4
2
8
-2
x
16 (thỏa mãn)
4 (thỏa mãn)
64 (thỏa mãn)
Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {16; 4; 64}
Ví dụ 4: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A(B – 2) đạt giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 4
b) Ta có:
P có giá trị nguyên nghĩa là
có giá trị nguyên
Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)
Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ
Do đó là số nguyên
=>
là ước tự nhiên của
Ta có bảng giá trị như sau:
Vậy để biểu thức A đạt giá trị nguyên thì x ∈ {3; 1; 16}
Ví dụ 5: Cho biểu thức:
với x > 4
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4
Thực hiện rút gọn phân số ta có:
Trường hợp 1: Nếu 4 < x < 8 thì
khi đó
Do 4 < x < 8 nên 0 < x – 4 < 4 => A > 8
Trường hợp 2: Nếu x ≥ 8 thì
khi đó:
(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 8 khi x = 8
c) Xét 4 < x < 8 thì
. Ta thấy biểu thức A nguyên khi và chỉ khi
=> x = 4 là ước số nguyên dương của 16
Ta có Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}
Hay x – 4 ∈ {1; 2; 4; 8; 16}
=> x ∈ {5; 6; 8; 12; 20} đối chiếu với điều kiện suy ra x =5 hoặc x = 6
Xét x ≥ 8 ta có:
. Đặt
. Khi đó ta có:
suy ra m ∈ {2; 4; 8} => x ∈ {8; 20; 68}
Kết luận: Để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5; 6; 8; 20; 68}
3. Bài tập tìm giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên
Bài 1: Tìm x ∈ để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau có giá trị nguyên:
Bài 3: Cho biểu thức:
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
cũng có giá trị nguyên.
Bài 4: Cho biểu thức:
a. Rút gọn P
b. Tìm x để P = -1
c. Tìm giá trị của x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = A.B nhận giá trị nguyên.
Bài 6: Cho hai biểu thức:
(với x ≥ 0; x ≠ 9)
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.
b) Đặt P = A/B. Chứng minh rằng
c) Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài 7: Cho các biểu thức:
(với x ≥ 0; x ≠ 9)
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16
b) Rút gọn biểu thức M = A + B
c) Tìm tất cả các số nguyên x để M có giá trị là số nguyên.
—————————————————–
Hy vọng tài liệu Tìm x nguyên để biểu thức nguyên Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
