Xem Tắt
2. Nhận xét
- – Trong khai triển có số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
- – Số hạng tổng quát dạng : và số hạng thứ thì .
- – Trong khai triển thì dấu đan nhau nghĩa là , rồi , rồi ,…..
- – Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
-
– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
-
.
Bạn Đang Xem: Viết khai triển theo công thức nhị thức niu tơn (x+1)^5
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
*
3. Tam giác Pascal
Các hệ số của khai triển: có thể xếp thành một tam giác gọi
là tam giác PASCAL.
n = 0 : 1
n = 1 : 1 1
n = 2 : 1 2 1
n = 3 : 1 3 3 1
n = 4 : 1 4 6 4 1
n = 5 : 1 5 10 10 5 1
n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1
Hằng đẳng thức PASCAL
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
A. Phương pháp
Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:
Số hạng chứa ứng với giá trị thỏa: .
Từ đó tìm
Vậy hệ số của số hạng chứa là: với giá trị đã tìm được ở trên.
Nếu không nguyên hoặc thì trong khai triển không chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển
được viết dưới dạng.
Ta làm như sau:
* Viết ;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số theo và ;
* Giải bất phương trình với ẩn số ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Trong khai triển , hệ số của số hạng thứbằng:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn B.
Ta có:
Do đó hệ số của số hạng thứbằng.
Ví dụ 2: Trong khai triển , hệ số của số hạng chính giữa là:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn D.
Trong khai triển có tất cả số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là.
Ví dụ 3: Trong khai triển , hệ số của là:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Yêu cầu bài toán xảy ra khi .
Khi đó hệ số của là:.
Ví dụ 4: Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức sau:
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn A.
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là : .
Vậy hệ số chứa trong khai triển thành đa thức là: .
Chú ý:
* Với ta có: với .
* Với ta có: với .
Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của biết .
A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
.
Khi đó: .
Số hạng chứa ứng với thỏa: .
Do đó hệ số của số hạng chứa là: .
Ví dụ 6: Xác định hệ số của trong các khai triển sau:
A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239
Xem Thêm : Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=3sinx 5 là
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng chứa ứng với cặp thỏa:
Nên hệ số của là:
Dạng 2. Tính tổng
A. Phương pháp
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
.
Xem Thêm : 7 biển quảng cáo tiếng anh là gì hay nhất, bạn nên biết
Ta chọn những giá trị thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
*
*
*
*
* .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a) .
b) .
c) .
Lời giải:
a) Ta có:
Chọn ta được .
Vậy .
b) Ta có: .
Chọn ta được: .
c) Ta có:
Cho ta được: (1)
Cho ta được: (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:
.
Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho:
A. 4 B. 11 C. 12 D. 5
Lời giải:
Chọn D.
Xét khai triển:
Cho ta có:
Do vậy ta suy ra .
Ví dụ 3: Tính tổng
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:.
Vế trái của hệ thức trên chính là:
Và ta thấy hệ số của trong vế trái là
Còn hệ số của trong vế phải là
Do đó
Nguồn: https://quatangtiny.com
Danh mục: Blog
