Xem Tắt
2. Nhận xét
- – Trong khai triển có số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :
- – Số hạng tổng quát dạng : và số hạng thứ thì .
- – Trong khai triển thì dấu đan nhau nghĩa là , rồi , rồi ,…..
- – Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
-
– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
-
.
Bạn Đang Xem: Viết khai triển theo công thức nhị thức niu tơn (x+1)^5
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
*
3. Tam giác Pascal
Các hệ số của khai triển: có thể xếp thành một tam giác gọi
là tam giác PASCAL.
n = 0 : 1
n = 1 : 1 1
n = 2 : 1 2 1
n = 3 : 1 3 3 1
n = 4 : 1 4 6 4 1
n = 5 : 1 5 10 10 5 1
n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1
Hằng đẳng thức PASCAL
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
A. Phương pháp
Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:
Số hạng chứa ứng với giá trị thỏa: .
Từ đó tìm
Vậy hệ số của số hạng chứa là: với giá trị đã tìm được ở trên.
Nếu không nguyên hoặc thì trong khai triển không chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển
được viết dưới dạng.
Ta làm như sau:
* Viết ;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số theo và ;
* Giải bất phương trình với ẩn số ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Trong khai triển , hệ số của số hạng thứbằng:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn B.
Ta có:
Do đó hệ số của số hạng thứbằng.
Ví dụ 2: Trong khai triển , hệ số của số hạng chính giữa là:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn D.
Trong khai triển có tất cả số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là.
Ví dụ 3: Trong khai triển , hệ số của là:
A. . B. . C. . D. .
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là
Yêu cầu bài toán xảy ra khi .
Khi đó hệ số của là:.
Ví dụ 4: Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức sau:
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn A.
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là :
Hệ số của trong khai triển là : .
Vậy hệ số chứa trong khai triển thành đa thức là: .
Chú ý:
* Với ta có: với .
* Với ta có: với .
Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của biết .
A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
.
Khi đó: .
Số hạng chứa ứng với thỏa: .
Do đó hệ số của số hạng chứa là: .
Ví dụ 6: Xác định hệ số của trong các khai triển sau:
A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239
Xem Thêm : odin là gì – Nghĩa của từ odin
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng chứa ứng với cặp thỏa:
Nên hệ số của là:
Dạng 2. Tính tổng
A. Phương pháp
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
.
Xem Thêm : Mission success là gì
Ta chọn những giá trị thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
*
*
*
*
* .
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a) .
b) .
c) .
Lời giải:
a) Ta có:
Chọn ta được .
Vậy .
b) Ta có: .
Chọn ta được: .
c) Ta có:
Cho ta được: (1)
Cho ta được: (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:
.
Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho:
A. 4 B. 11 C. 12 D. 5
Lời giải:
Chọn D.
Xét khai triển:
Cho ta có:
Do vậy ta suy ra .
Ví dụ 3: Tính tổng
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có:.
Vế trái của hệ thức trên chính là:
Và ta thấy hệ số của trong vế trái là
Còn hệ số của trong vế phải là
Do đó
Nguồn: https://quatangtiny.com
Danh mục: Blog
