Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là tài liệu hữu ích mà Tài Liệu Học Thi giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là tài liêu vô cùng hữu ích mà Tài Liệu Học Thi muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 9 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương trình tổng quát của đường thẳng, phương trình chứa tham số, cách viết và các bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 9.

Xem Tắt

1 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
2 2. Phương trình tham số của đường thẳng
3 3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
4 4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0;left( {{a^2} + {b^2} ne 0} right)$ nhận $overrightarrow n = left( {a;b} right)$ làm vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $Aleft( {{x_0},{y_0}} right)$ nhận $overrightarrow u (a,b)$ làm vecto chỉ phương, Ta có:

$Bleft( {x,y} right) in d Leftrightarrow overrightarrow {AB} = toverrightarrow u Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_0} = at} \ {y - {y_0} = bt} end{array}} right.$

$Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt} end{array}} right.;left( {{a^2} + {b^2} ne 0,t in mathbb{R}} right)$

– Đường thẳng d đi qua điểm $Aleft( {{x_0},{y_0}} right)$ , nhận $overrightarrow u (a,b)$ là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là $frac{{x - {x_0}}}{a} = frac{{y - {y_0}}}{b}$ với $(a,b ne 0)$

3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

a. Sử dụng định nghĩa

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Tính: $overrightarrow {AB} = left( {c - a;d - b} right)$ (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: $overrightarrow n = left( {b - d;c - a} right)$

Bước 3: Phương trình đường thẳng d:

$left( {b - d} right)left( {x - a} right) + left( {c - a} right)left( {y - b} right) = 0$

b. Sử dụng phương trình tổng quát

Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)

Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {b = am + n} \ {d = cm + n} end{array}} right. Rightarrow left( {m;n} right) = left( {?;?} right)$

Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.

4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát

$overrightarrow {AB} = left( {1,1} right)$

Phương trình tham số: $frac{{x - 1}}{1} = frac{{y - 2}}{1}$

$overrightarrow n = left( { - 1,1} right)$

Phương trình tổng quát:

$begin{matrix} - 1.left( {x - 1} right) + 1.left( {y - 2} right) = 0 hfill \ Rightarrow y = x + 1 hfill \ end{matrix}$

$overrightarrow {AB} = left( {1,1} right)$

Phương trình tham số: $frac{{x - 1}}{1} = frac{{y - 2}}{1}$

Gọi phương trình tổng quát là:

y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = a.1 + b} \ {3 = a.2 + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( {1;1} right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = x + 1$

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \ { - 4 = 5a + b} end{array}} right. Rightarrow left( {a;b} right) = left( { - frac{3}{4}; - frac{1}{4}} right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = - frac{3}{4}x - frac{1}{4}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: $y = 0 Rightarrow x = - frac{1}{3} Rightarrow Aleft( { - frac{1}{3};0} right)$

$Rightarrow overrightarrow {OA} = left( { - frac{1}{3};0} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OA} } right| = frac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: $x = 0 Rightarrow y = - frac{1}{4} Rightarrow Bleft( {0; - frac{1}{4}} right)$

$Rightarrow overrightarrow {OB} = left( {0; - frac{1}{4}} right) Rightarrow left| {overrightarrow {OB} } right| = frac{1}{4}$

$Rightarrow {S_{OAB}} = frac{1}{2}.OA.OB = frac{1}{2}.frac{1}{3}.frac{1}{4} = frac{1}{{24}}$

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b
⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Bài 3: Cho hàm số $y=2 x^{3}+3(m-1) x^{2}+6(m-2) x-1$ . Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1

Cách giải:

Ta có : $y^{prime}=6 x^{2}+6(m-1) x+6(m-2)$

Hàm số có hai cực trị $Leftrightarrow Delta=(m-1)^{2}-4(m-2)>0$

$Leftrightarrow(m-3)^{2}>0 Leftrightarrow m neq 3$

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

$-4=frac{2}{3}left[6(m-2)-frac{9(m-1)^{2}}{6}right]=4(m-2)-(m-1)^{2} Leftrightarrow-(m-3)^{2}=-4 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}m=1 \ m=5end{array}right.$