Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Ninh Thuận năm 2012 – 2013 môn Toán

Bài 1 (4,0 điểm).

Giải phương trình:

Bài 2 (3,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 3sinxcosx – sin³x – cos³x

Bài 3 (3,0 điểm).

Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho A/2 là một số chính phương và A/3 là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 4 (5,0 điểm).

Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không phải là đường kính) và điểm A di động. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, trên cung BC không chứa điểm A lấy điểm M bất kỳ. Gọi D và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC.

a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.

b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tam giác MDE có diện tích lớn nhất.

Bài 5 (3,0 điểm).

Cho a₁, a₂,…, a_n là n số thực thoả mãn điều kiện a₁² + a₂² + … + a_n² = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a₁a₂ + a₂a₃ + … + a_n-1a_n

Bài 6 (2,0 điểm).

Cho 4 xã có trung tâm của mỗi xã nằm ở vị trí là đỉnh của một hình vuông có cạnh bằng a. Hãy xây dựng một mạng lưới giao thông có độ dài ngắn nhất nối 4 trung tâm của các xã đó.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết