Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Khoa học tự nhiên năm 2013, Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học khoa học tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 2013
Xem Tắt ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
|
KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2013MÔN: TOÁN HỌC |
MÔN THI: ĐẠI SỐ
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f: Mn(R) → R
a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho f(A) = Tr(AC)
b/ Nếu thêm giả thiết f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại α thuộc R sao cho f(A) = αTr(A)
Bài 2:
Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận là một ma trận chéo hóa được. Ở đó In là ma trận đơn vị cấp n.
Bài 3: Cho xi, yi, 1 ≤ i ≤ n là các số phức với với xi, yi # 1 mọi cặp xi, yi
Tính định thức của ma trận M = (mi,j)m × n, ở đó:
Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ n × n với hệ số phức.
Chứng minh rằng |det(AB)| ≤ 2n
Bài 5:
a/ Cho A thuộc M3(Q) là một ma trận thỏa mãn điều kiện A5 = I. Chứng minh rằng $A = I$
b/ Cho A thuộc M4(Q) là một ma trận thỏa mãn điều kiện A5 = I. Kết luận A = I có còn đúng không? Tại sao?
Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn: P(x)P(x1) = P(x2), với mọi x thuộc R
Định nghĩa và ký hiệu:
(1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B
(2) Mn(Q) = {(ai,j)n × n | ai,j thuộc Q}
(3) Giả sử A = (ai,j)n × n. Ma trận phụ hợp phức A* = (a*i,j)n × n của A được định nghĩa như sau: a*i,j = aj,i.
Ma trận A được gọi là unita nếu AA* = A*A = I
MÔN THI: GIẢI TÍCH
Thời gian:120 phút
Bài 1: Tính giới hạn sau:
Bài 2: Cho g: R → R là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi φ(x) sao cho: φ'(x) = g(φ(x)), với mọi x thuộc R
Chứng minh rằng nếu limx→∞φ(x) = b thì g(b) = 0
Bài 3: Cho hai dãy số thực {xn}0∞ và $left { y_{n} right }_{0}^{infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. xn1 ≥ xn, với mọi n = 0, 1, 2,…, xo = 0; limn→∞xn = ∞.
2. limn→∞yn = 1.
Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho hàm số f: (0; ∞) → R thỏa mãn các điều kiện sau:
1.
2. f bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong (0; ∞).
Chứng minh rằng:
Bài 5:
Cho đa thức P(x) = ax3bx2cxd với các hệ số a, b, c, d thuộc R và $a neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên (x, y); x # y sao cho xP(x) = yP(y). Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có nghiệm nguyên.
Download tài liệu để xem thêm chi tiết.