Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức, Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 10, 11, 12 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài

Tài Liệu Học Thi mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 10, 11, 12 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 10, 11, 12 Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 2 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Xem Tắt

1 Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2 Giải bài tập toán 9 trang 10, 11, 12 tập 1
3 Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

1. Căn thức bậc hai

Với $sqrt A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A. Khi đó, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$sqrt A$ xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

2. Hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

Với mọi số a, ta có $sqrt {{a^2}} = left| a right|.$

* Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có

$sqrt {{A^2}} = left| A right|$ nghĩa là

$sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A ge 0$ và $sqrt {{A^2}} = - A$ nếu A < 0.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định

Ta có $sqrt A$ xác định hay có nghĩa khi $Age 0$

Ví dụ: $sqrt {x - 1}$ xác định khi $x - 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 1$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với A là một biểu thức ta có $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

Vì dụ: Với x>2 ta có: $A = dfrac{{sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = dfrac{{sqrt {{{left( {x - 2} right)}^2}} }}{{x - 2}} = dfrac{{left| {x - 2} right|}}{{x - 2}} = dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1$

Giải bài tập toán 9 trang 10, 11, 12 tập 1

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

$a) sqrt{dfrac{a}{3}},$

$b) sqrt{-5a};$

$c) sqrt{4 - a};$

$d) sqrt{3a + 7}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $sqrt{dfrac{a}{3}}$ có nghĩa khi $dfrac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Ta có: $sqrt{-5a}$ có nghĩa khi $-5ageq 0Leftrightarrow aleq dfrac{0}{-5}Leftrightarrow aleq 0$

c) Ta có: $sqrt{4 - a}$ có nghĩa khi $4-ageq 0 Leftrightarrow -ageq -4 Leftrightarrow aleq 4$

d) Ta có: $sqrt{3a + 7}$ có nghĩa khi $3a+7geq 0Leftrightarrow 3a geq -7 Leftrightarrow ageq dfrac{-7}{3}$

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

$a. sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}}$

$b. sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}}$

c. $- sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}}$

d. $- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}}$

Gợi ý đáp án

a) $a. sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}} = left| {0,1} right| = 0,1$

b) $b. sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}} = left| { - 0,3} right| = 0,3$

c) $- sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}}$

Ta có: $- sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}} = - left| { - 1,3} right| = -1,3$

d. $- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}}$

Ta có:

$- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}} = - 0,4.left| {-0,4} right| = - 0,4.0,4$

= – 0,16

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}}$

c) $2sqrt {{a^2}}$ với a ≥ 0

b) $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}}$

d) $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}}$ với a < 2.

Gợi ý đáp án

a) $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} = left| {2 - sqrt 3 } right|=2- sqrt{3}$

(Vì 4>3 nên $sqrt{4} > sqrt{3} Leftrightarrow 2> sqrt{3} Leftrightarrow 2- sqrt{3}>0 .$

$Leftrightarrow left| {2 - sqrt 3 } right| =2- sqrt{3})$

b) $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}} = left| {3 - sqrt {11} } right| =sqrt{11}-3.$

(Vì 9<11 nên $sqrt{9} < sqrt{11} Leftrightarrow 3< sqrt{11} Leftrightarrow 3- sqrt{11} <0$

$Leftrightarrow left| {3 - sqrt {11} } right| =-(3- sqrt{11})=sqrt{11}-3)$

c) $2sqrt {{a^2}}$ với a ≥ 0

Ta có: $2sqrt {{a^2}} = 2left| a right| = 2{rm{a}} (vì a ge 0 )$

d) $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}}$ với a < 2.

Vì a < 2 nên a – 2<0

$Leftrightarrow left| a-2 right|=-(a-2)=2-a$

Do đó: $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} = 3left| {a - 2} right| = 3left( {2 - a} right) = 6 - 3a.$

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x biết:

a) $sqrt {{x^2}} = 7$

b) $sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right|$

c) $sqrt {4{{rm{x}}^2}} = 6$

d) $sqrt {9{{rm{x}}^2}} = left| { - 12} right|$

Gợi ý đáp án

a) $sqrt {{x^2}} = 7$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {{x^2}} = 7 cr & Leftrightarrow left| x right| = 7 cr & Leftrightarrow x = pm 7 cr}$

Vậy $x= pm 7.$

b) $sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right|$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right| cr & Leftrightarrow left| x right| = 8 cr & Leftrightarrow x = pm 8 cr}$

Vậy $x= pm 8 .$

c) $sqrt {4{{rm{x}}^2}} = 6$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {4{x^2}} = 6 cr & Leftrightarrow sqrt {{{left( {2x} right)}^2}} = 6 cr & Leftrightarrow left| {2x} right| = 6 cr & Leftrightarrow 2x = pm 6 cr & Leftrightarrow x = pm 3 cr}$

Vậy $x= pm 3 .$

d) $sqrt {9{{rm{x}}^2}} = left| { - 12} right|$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {9{x^2}} = left| { - 12} right| cr & Leftrightarrow sqrt {{{left( {3x} right)}^2}} = 12 cr & Leftrightarrow left| {3x} right| = 12 cr & Leftrightarrow 3x = pm 12 cr & Leftrightarrow x = pm 4 cr} .$

Vậy $x= pm 4 .$

Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh

a) $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3}$

b) $sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1$

Gợi ý đáp án

a) $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3}$

Ta có: $VT={left( {sqrt 3 - 1} right)^2} = {left( {sqrt 3 } right)^2} - 2. sqrt 3 .1 + {1^2}$

$= 3 - 2sqrt 3 + 1 =(3+1)-2sqrt 3 = 4 - 2sqrt 3 = VP$

Vậy $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3} (đpcm)$

b) $sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1$

Ta có:

$VT= sqrt {4 - 2sqrt 3 } - sqrt 3 = sqrt {left( {3 + 1} right) - 2sqrt 3 } - sqrt 3$

$= sqrt {3 - 2sqrt 3 + 1} - sqrt 3$

$= sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} - 2.sqrt 3 .1 + {1^2}} - sqrt 3$

$= left| {sqrt 3 - 1} right| - sqrt 3$

$=sqrt 3 -1 - sqrt 3$

$= (sqrt 3 - sqrt 3) -1= -1 = VP.$

(do $3>1 Leftrightarrow sqrt 3 > sqrt 1 Leftrightarrow sqrt 3 > 1 Leftrightarrow sqrt 3 -1 > 0$

$Rightarrow left| sqrt 3 -1 right| = sqrt 3 -1)$

Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

a) $sqrt{16}.sqrt{25} + sqrt{196}:sqrt{49};$

b) $36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169};$

c) $sqrt{sqrt{81}};$

d) $sqrt{3^{2}+4^{2}}.$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $sqrt{16}.sqrt{25} + sqrt{196}:sqrt{49}$

$=sqrt{4^2}.sqrt{5^2}+sqrt{14^2}:sqrt{7^2}$

$=left| 4 right| . left| 5 right| + left| {14} right| : left| 7 right|$

=4.5+14:7

=20+2=22 .

b) Ta có:

$36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169}$

$=36:sqrt{(2.9).18} - left| 13 right|$

$=36:sqrt{18.18}-13$

$=36:sqrt{18^2}-13 =36: left|18 right| -13$

=36:18-13

=2-13=-11.

c) Ta có: $sqrt{81}=sqrt{9^2}=left| 9 right| = 9.$

$Rightarrow sqrt{sqrt{81}}=sqrt{9}= sqrt{3^2}=left| 3 right| =3.$

d) Ta có: $sqrt{3^{2}+4^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=sqrt{5^2}=left|5 right| =5.$

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $sqrt{2x + 7};$

c) $displaystyle sqrt {{1 over { - 1 + x}}}$

c. $sqrt{-3x + 4}$

d) $sqrt{1 + x^{2}}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{2x + 7}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $2x + 7geq 0$

$Leftrightarrow 2x geq -7$

$displaystyle Leftrightarrow x geq {{ - 7} over 2}.$

b) Ta có

$sqrt{-3x + 4}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $-3x + 4geq 0$

$Leftrightarrow -3xgeq -4$

$displaystyle Leftrightarrow xleq {-4 over {- 3}}$

$displaystyle Leftrightarrow xleq {4 over { 3}}$

c) Ta có:

$sqrt{dfrac{1}{-1 + x}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$displaystyle {1 over displaystyle { - 1 + x}} ge 0 Leftrightarrow - 1 + x > 0$

$Leftrightarrow x > 1$

d) $sqrt{1 + x^{2}}$

Ta có: $x^2geq 0$ , với mọi số thực x

$Leftrightarrow x^2+1 geq 0+ 1$ , (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với 1)

$Leftrightarrow x^2+1 geq 1$ , mà 1 >0

$Leftrightarrow x^2+1 >0$

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực x.

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2sqrt {{a^2}} - 5a$ với a < 0.

b) $sqrt{25a^{2}}+ 3a$ với a ≥ 0.

c) $sqrt {9{a^4}} + 3{a^2},$

d) $5sqrt{4a^{6}} - 3a^{3}$ với a < 0

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $2sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a$

$=2.(-a)-5a (vì a<0 nên left| a right| =-a )$

=-2a-5a

=(-2-5)a

=-7a

Vậy $2 sqrt{a^2}-5a=-7a.$

b) Ta có: $sqrt{25a^{2}} + 3a= sqrt{5^2.a^2}+3a$

$=sqrt{(5a)^2}+3a$

$=left| 5 aright| +3a$

=5a+3a

=(5+3)a

=8a.

(vì $ageq 0Rightarrow |5a|=5a$ )

c) Ta có: $sqrt{9a^{4}}+3a^2= sqrt{3^2.(a^2)^2}+ 3a^2$

$=sqrt{(3a^2)^2}+3a^2$

$=left| 3 a^2right| +3a^2$

$=3a^2 + 3a^2$

$=(3+3)a^2$

$=6a^2.$

(Vì $a^2geq 0$ với mọi $a,,in,,mathbb{R}Rightarrow |3a^2|=3a^2$ ).

d) Ta có:

$5sqrt{4a^{6}} - 3a^3=5sqrt{2^2.(a^3)^2} -3a^3$

$=5.sqrt{(2a^3)^2}-3a^3$

$=5.left| 2a^3 right| -3a^3$

$=5.2.(-a^3)-3a^3$ (vì a<0 nên $|2a^3|=-2a^3$ )

$=10.(-a^3) - 3a^3$

$=-10a^3-3a^3 =(-10-3)a^3$

= $-13a^3.$

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử:

a) x² – 3 ;

b) x² – 6

c) x² + 2√3 x + 3 ;

d) x² – 2√5 x + 5

Gợi ý đáp án

a) x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)

b) x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)

c) x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)²

= (x + √3)²

d) x² – 2√5 x + 5 = x² – 2√5 x + (√5)²

= $x^2-2sqrt{5}x+5=x^2-2.x.sqrt{5}+(sqrt{5})^2$

$=(x-sqrt{5})^2$

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải các phương trình sau:

a) x² – 5 = 0 ;

b) x² – 2√11 x + 11 = 0

Gợi ý đáp án

a) x² – 5 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x₁ = √5; x₂ = -√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = √5; x₂ = -√5

Cách khác:

x² – 5 = 0 ⇔ x² – (√5)² = 0

⇔ (x – √5)(x + √5) = 0

hoặc x – √5 = 0 ⇔ x = √5

hoặc x + √5 = 0 ⇔ x = -√5

b) x² – 2√11 x + 11 = 0

⇔ x² – 2√11 x + (√11)² = 0

⇔ (x – √11)² = 0

⇔ x – √11 = 0 ⇔ x = √11

Vậy phương trình có một nghiệm là x = √11

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây:

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m² + V² = V² + m²

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m² – 2mV + V² = V² – 2mV + m²

hay (m – V)² = (V – m)².

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

√(m – V)² = √(V – m)²

Do đó m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Gợi ý đáp án

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m – V)² = (V – m)² ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức √A² = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.