Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT năng khiếu TP HCM năm 2013 – 2014

Bài 1.

Tìm tất cả các hàm số f: R → R thoả mãn:

f(x³ + y + f(y)) = 2y + x² f(x); với mọi x, y thuộc R

Bài 2.

Cho dãy {u_n} thoả mãn u₁ = 2013, u_n+1 = u³_n – 4u²_n + 5u_n; với mọi N thuộc N*.

Tìm tất cả các số nguyên tố p là ước của (u₂₀₁₄ + 2009) và p ≡ 3 (mod4).

Bài 3.

Trong một hội nghị khoa học có 5000 đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ tiếng (uỷ ban có thể gồm 1 thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng 100 uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức.

Bài 4.

Tam giác ABC có B,C cố định còn A di động sao cho AB = AC và góc BAC > 60^o. Đường thẳng đối xứng với BC qua AB cắt AC tại P. Trên đoạn PC lấy M sao cho PM = PB. Gọi N là giao điểm của AB với phân giác ngoài góc BCA. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Cho 2014 số thực x₁, x₂, …, x₂₀₁₄ thỏa mãn điều kiện:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x₁x₂…x₂₀₁₄.

Bài 6. Cho dãy số {u_n} xác định bởi:

Tìm:

Bài 7.

Cho n là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của X = {1, 2, …, n}.

Tính giá trị của tổng , trong đó E lấy trên tất cả các tập con của X (kể cả tập rỗng).

Cho m thuộc N*, xét m tập con khác rỗng của X là A₁, A₂,…, A_m và m số nguyên khác 0 là a₁, a₂,…, a_m sao cho a₁ + a₂ +… + a_m < 0. Chứng minh rằng tồn tại tập con E của X sao cho:

(Ký hiệu |A| chỉ số phần tử của tập hợp A, số phần tử của tập rỗng là 0).

Bài 8.

Tam giác ABC nhọn có trực tâm H và P là điểm di động bên trong tam giác ABC sao cho góc BPC = góc BHC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thằng cố định.

Download tài liệu để xem chi tiết.