Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Quảng Ninh năm 2012 – 2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (BẢNG A)

Bài 1 (6 điểm):

1. Cho hàm số có đồ thị (C), gọi I là giao hai tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến ấy cắt hai đường tiệm cận của đồ thị tại hai điểm A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất.

2. Tính giới hạn sau:

Bài 2 (3 điểm):

Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm:

Bài 3 (3 điểm):

Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đặt IA = x, IB = y, IC = z. Chứng minh rằng:

Bài 4 (5 điểm):

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính BC cố định. M là một điểm di động trên đường tròn ấy. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại B lấy một điểm A cố định. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC.

1. Chứng minh rằng khi M di động mặt phẳng (BHK) cố định.

2. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất

Bài 5 (3 điểm):

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn abc = 2√2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (BẢNG B)

Bài 1 (4 điểm):

Tính giới hạn sau:c

Bài 2 (3 điểm):

Cho tam giác ABC có góc C = α, B = β với α< β, trung tuyến AM. Gọi φ là góc nhọn tạo bởi AM với cạnh BC, chứng minh rằng: 2cotφ = cotα- cotβ.

Bài 3 (4 điểm):

Giải bất phương trình:

Bài 4 (6 điểm):

Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường thẳng (d) qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trên (d) lấy điểm M. Gọi I là trực tâm của tam giác MBC, H là trực tâm của tam giác ABC, giao điểm của đường thẳng HI với (d) là N.

1. Chứng minh rằng tứ diện MNBC có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau

2. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên (d) thì tích AM.AN không đổi.

Bài 5 (3 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với a, b là các số thực thỏa mãn a ≠ 0, b ≠ 0.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.