Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012 môn Toán – Có đáp án

Câu 1 (3,0 điểm).

1. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

2. Cho biểu thức

Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn (x + y)³ = (x – y – 6)².

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc + bcd + cda + dab = a + b + c + d + √2012

Chứng minh rằng: (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)(d² + 1) ≥ 2012.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn (O₁), (O₂), (O₃) (kí hiệu (X) chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử (O₁), (O₂) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và (O₁), (O₂) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M₁, M₂. Tiếp tuyến của đường tròn (O₁) tại điểm I cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm A, A’. Đường thẳng AM₁ cắt lại đường tròn (O₁) tại điểm N₁, đường thẳng AM₂ cắt lại đường tròn (O₂) tại điểm N₂.

1. Chứng minh rằng tứ giác M₁N₁M₂N₂ nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N₁N₂.

2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn (O) sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung AM₁ không chứa điểm M₂). Chứng minh rằng nếu PM₁, QM₂ không song song thì các đường thẳng AI, PM₁ và QM₂ đồng quy.

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.