Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên trường ĐH Sư Phạm Hà Nội năm 2012 – 2013 môn Toán

Câu 1 (2 điểm).

Cho biểu thức: với a > b > 0.

a) Rút gọn P.

b) Biết a − b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 2 (2 điểm).

Trên quãng đường AB dài 210 km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ A đi về B và một ô tô khởi hành từ B đi về A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng xe máy và ô tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và của ô tô.

Câu 3 (2 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = − x² và đường thẳng (d): y = mx − n − 2 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

b) Tìm m để |x₁ − x₂| = √20.

Câu 4 (3 điểm).

Cho tam giác ABC. Đường tròn (ω) có tâm O và tiếp xúc với các đoạn thẳng AB, AC tương ứng tại K, L. Tiếp tuyến (d) của đường tròn (ω) tại điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thẳng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM tại P và cắt ON tại Q.

a) Chứng minh góc MON = 90⁰ − 1/2 góc BAC.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP và OE cùng đi qua một điểm.

c) Chứng minh KQ.PL = EM.EN

Câu 5 (1 điểm).

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện √xy(x − y) = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.