Công thức tính cấp số cộng
Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Vậy công thức cấp số cộng là gì? Điều kiện thành lập cấp số cộng như thế nào? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Xem Tắt
Công thức cấp số cộng
d là công sai.
II. Số hạng thứ n của cấp số cộng
III.Điều kiện lập thành cấp số cộng
Ba số hạng
là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi
với
IV. Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng
Tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:
Chú ý
a. Dãy số
là một cấp số cộng, công sai d
không phụ thuộc vào n
c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua
V. Phân dạng bài tập cấp số cộng
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức:
Bước 2: Kết luận:
- Nếu d là số không đổi thì dãy
là CSC.
- Nếu d thay đổi theo n thì dãy không là CSC.
Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng
Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát
Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên
Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu
công sai d.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát
VI. Bài tập cấp số cộng
Bài 1. Cho cấp cấp số cộng
với
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Gợi ý
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Bài 2: Cho một CSC có
. Tìm d ?
Gợi ý
Bài 3: Cho một CSC có
Tìm d?
Gợi ý
Bài 4: Cho CSC
thỏa:
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.
3. Tính
Gợi ý
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số:
2. Tổng của 15 số hạng đầu:
3. Ta có:
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
§3. CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu (Un) là cấp số cộng với công sai d thì un+1-un = d với ne N * (1)
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u, và công sai d thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức: un = u, + (n – 1 )đ với n > 2. (2)
TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CAP số CỘNG
Định lí 2
Jk+1
uk =
với k > 2.
(3)
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẨU TIÊN CỦA MỘT CẤP số CỘNG
Dịnh lí 3
Cho cấp só’ cộng (un). Đặt Sn = u, + u2 + u3 + … + un.
n(u1+un) n[2u1+(n-Ị)d]
Khi đó
Chú ý: Vì
sn =
” 2 2 Un = u, + (n – 1 )d nên công thức (4) có thể viết
(4)
nf2u, +(n-l)dl n(n-1)
sn = 1 1 ; 7 J = nu, + v’ ‘d.
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đểu là trung bình cộng của hai số hạng đứng kể với nó, nghĩa là uk 1+u
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng
Ta chứng minh hiệu Un+1 – Un là một hằng số (không phụ thuộc vào n). Khi nó (un) là cấp số cộng có công sai d = Un+1 – un.
Xác định số hạng tổng quát cùa cấp số cộng
• Xác định u, và d • Un = u, + (n – 1 )d • un – um = (n – m)d
1. Trong các dãy số (Un) sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nổ.
a) Un = 5 – 2n;
b)u„= ‘ị -1;
c) u„ = 3″;
d) u„ =
7-3n
tflai
Ta có un+1 – un = 5 – 2(n+l) – (5 – 2n) = -2; Vn 6 N*
Vậy (un ) là cấp số cộng có u! = 3, công sai d = -2.
Ta có un+1 – un = – 1 – -1 j = I; Vn e N*
Vậy (un) là cáp số cộng có U] = – i công sai d = .
2 2
Un+1 – un = 3n+1 – 3n = 2.3n. Vậy (un) không là cấp số cộng.
j rp„ „A .. .. – 7-3(n + l) 7-3n _ 3
2 2 2
3
Vậy (un) là cấp sô’ cộng có U] = 2, công sai d = – .
2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: (u,-u3+us=10
a)
u1+u6=17
b)
u7-u3 =8 u2.u7 = 75
Ốịiải
Áp dụng công thức un = Ư! + (n – l)d..
a) Ta có:
h~u3 +u5 =10
Uj + Ug = 17
Uj + 2d = 10 2uj + 5d = 17
Uj – Ui – 2d + + 4d = 10
ur + ur + 5d = 17
U| = 16 d =-3
Vậy (un) có Uị = 16, công sai d = -3.
í u7 – ua = 8 f u, + 6d – Ui – 2d – 8 b) Ta có: 7 3 „ » 7 ,
[u2.u7=75 [(Uị +d)(uj + 6d) = 75 d = 2 íu, = 3 íi
(Ul + 2)(uị +12) = 75
Y2 . «b=3hoặcí Uj+14u1-51 = 0 Id = 2 [
Uị = -17 d = 2
Tronđ các bài toán vể cấp sõ’ cộng, ta thường gặp nãm đại lượng Ui, d, n, Un, sn.
Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
Lập bảng theo mẫu sau và điển sổ thích hợp vào ô trống.
u,
d
u„
n
Sn
-2
55
20
-4
15
120
3
4
27
7
17
12
72
2
-5
-205
Ốịiảl
Các hệ thức liên hiện giữa U], d, n, Un, Sn là
n(u,+un) „ n^Uj+(n-l)d’| u„ = u, + (n -l)d; sn = v 1 n/ ; Sn = L ;
Cần biết ít nhất ba trong năm. đại lượng Ui, d, n, un, s„ thì có thể tính
được hai đại lượng còn lại.
i) Cho Ui = -2, un = 55, n = 20. Tính d và Sn
Từ un = U] + (n – l)d. Ta có 55 = -2 + 19d => d = 3.
= 10Í-2 + 55) = 530
S20 –
20 (Uj +u20)
Ta có sn =
n[2uj + (n – l)d]
Cho d = -4, n = 15, Sn = 120. Tính Ui và un.
15
120 = [2u, + 14.(-4)1
2
=> 240 = 3ŨU) – 840 => u, = 36 Từ đó un = Ui + (n -1) d = 36 + 14.(-4) = -20
. 4
Cho Uj = 3, d = ; un = 7. Tìm n và Sn.
27
Ta có un = Uj + (n -l)d => 7 – 3 + (n – 1). =>n-l = 27=>n = 28
27
n(ui+un) 28(3 + 7)
s„ = V 1J nf = —_ 140
2 2
Cho un = 17, n = 12, Sn = 72. Tìm Ui và d.
Ta có un = Ui + (n -1) d và Sn = ( 1 ——
12u,+17
=> 72 = V1–—=> u, = -5
2
Từ un = Ui + (n -1) d => 17 = -5 + lld => d = 2
n[2ut + (n – l)d]
n[4 – 5(n – 1)]
-205 =
Ta có sn =
Cho Ui = 2, d = -5, sn = -205. Tìm Un và n.
Ốịiải
Ta có 18 cm =■ 0,18m.
Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có:
hn = 0,5 + n.0,18.
Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 (m).
Tử 0 giở đến 12 gĩờ trưa, đống hố đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng sô’ giở?
ỂỹÂl
Số tiếng chuông mà đồng hồ đánh từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là:
„ 12(1 + 12) s12 = 1 + 2 + 3 + … + 12 = —= 78.
2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
a)
a14 =18
1. Xác định a, và công sai của cấp số cộng (an) biết: ía3 =-15
b)
a2 – a3 + a5 = 10 a4 + a6 = 26
Hãy dặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được cấp số cộng.
-Hướng ?)ẫn
Giả sử – 6, a2, a3, a4, a5, aH, a7, 8 là cấp số cộng, ta có ai = -6, a8 = 8 => d = 2
Cho cấp số cộng (an). Chứng minh rằng:
a, + ap = aq + ap.q+1 (p > q);
ap + aq = am + an nếu q + p = m + n.
-Hưởng ỉẫn
Áp dụng an = ai + (n – l id.
Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 40 và tổng bình phương là 480.
-Hưởng ĩẫn
Giải hệ:
(a-2d) + (a-d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 40 (a-2đ)2 + (a-d)2 + a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 480
Đáp số: 0, 4, 8, 12, 16, hoặc 16, 12, 8, 4, 0.
Cho cấp số cộng (a„) có a4 + a,, = 20. Tinh s,4.
