Hình vuông: Định nghĩa, tính chất và bài tập

Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 8 có thêm nhiều tư liệu học tập Tài Liệu Học Thi giới thiệu Chuyên đề Hình vuông.

Tài liệu tổng quát toàn bộ kiến thức lý thuyết như: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và bài tập về hình vuông Toán 8. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm chuyên đề Hình thoi. Sau đây là nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

I. Lý thuyết hình vuông

1. Định nghĩa

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Tổng quát: ABCD là hình vuông 

Nhận xét:

+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

+ Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

+ Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

2. Tính chất

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC ). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.

II. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.

a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông

b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông

Bài 2: Cho hình chữ nhật MNRS có MN = 2MS. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MN;SR.

a. Chứng minh tứ giác MPQS và PNRQ là hình vuông

b. Gọi H là giao điểm của MQ và SP. Gọi K là giao điểm của RP và NQ. Chứng minh PHQK là hình vuông

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm và AD = 5cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.

a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông

b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.

a. Chứng minh AMDN là hình vuông

b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh ADBP là hình thoi

c. NMPA là hình bình hành

Bài 5: Cho tam giác EFK vuông tại E. Đường phân giác ED. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến EF, EK.

a. Chứng minh EMDN là hình vuông

b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh EDFP là hình thoi

c. NMPE là hình bình hành

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.

d. Chứng minh AMDN là hình vuông

e. Gọi P đối xứng với D qua M. Tính độ dài DP biết AC = 10cm

f. NMPA là hình bình hành

Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 3cm, AD = 8cm. CD = 5cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông

Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 6cm, AD = 16cm. CD = 10cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông

Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CD, DA, sao cho AF = DE. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF

Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DA. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF

Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm của M, N, P, Q theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CP = DQ Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?

Bài 12: Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E

a. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao

b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình chữ nhật

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E

c. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao

d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông

Bài 14:Cho vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với M qua I

a. Các tứ giác ANMC, AMBN là hình gì ? Vì sao ?

b. Cho AB = 4cm ; AC = 6cm. Tính diện tích tứ giác AMBN

c. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AMBN là hình vuông

Bài 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.

a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b. Hai đường chéo AC và BD của tứ giác cần có thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

Bài 16: Cho DABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, AM là trung tuyến.

a. Tính độ dài BC, AM.

b. Trên tia AM lấy điểm D đối xứng với A qua M. Chứng minh AD = BC. Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì thì ABDC là hình vuông

Bài 17: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Gọi AM là trung tuyến của tam giác.

a) Tính độ dài AM.

b) Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. Tứ giác ADME có dạng đặc biệt nào ?

c) Tứ giác DECB có dạng đặc biệt nào ?

Bài 18: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH.

1. Chứng minh AH. BC = AB. AC.

2. Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN AB, MP AC ( N AB, P AC).

Tứ giác ANMP là hình gì ? Tại sao?

3. Tính số đo góc NHP ?

4. Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất ?